ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 238: Уравнения с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решите уравнения
а) 1/(x-7) - 1/(x-1) = 1/(x-10) - 1/(x-9)
б) 1/(x+3) - 1/(x+9) = 1/(x+5) - 1/(x+21).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решим данные уравнения методом приведения к общему знаменателю или группировки дробей. В обоих случаях важно сначала определить область допустимых значений (ОДЗ), чтобы исключить корни, обращающие знаменатели в ноль.
а) Уравнение: 1/x-7-1/x-1=1/x-10-1/x-9
1. ОДЗ: x≠7,x≠1,x≠10,x≠9.
2. Преобразование левой части:
1/x-7-1/x-1=(x-1)-(x-7)/(x-7)(x-1)=x-1-x+7/(x-7)(x-1)=6/(x-7)(x-1)
3. Преобразование правой части:
1/x-10-1/x-9=(x-9)-(x-10)/(x-10)(x-9)=x-9-x+10/(x-10)(x-9)=1/(x-10)(x-9)
4. Приравниваем упрощенные части:
6/(x-7)(x-1)=1/(x-10)(x-9)
5. Используем свойство пропорции (крест-накрест):
6(x-10)(x-9)=(x-7)(x-1)
6. Раскрываем скобки:
Левая часть: 6(x2-19x+90)=6x2-114x+540.
Правая часть: x2-x-7x+7=x2-8x+7.
Уравнение принимает вид:
6x2-114x+540=x2-8x+7
7. Переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:
5x2-106x+533=0
8. Решаем квадратное уравнение:
Найдем дискриминант:
D=(-106)2-4·5·533=11236-10660=576
D=24
Корни:
x1=106-24/10=82/10=8,2
x2=106+24/10=130/10=13
9. Проверка ОДЗ:
Числа 8,2 и 13 не совпадают с запрещенными значениями (1,7,9,10). Оба корня подходят.
б) Уравнение: 1/x+3-1/x+9=1/x+5-1/x+21
1. ОДЗ: x≠-3,x≠-9,x≠-5,x≠-21.
2. Преобразование левой части:
1/x+3-1/x+9=(x+9)-(x+3)/(x+3)(x+9)=6/(x+3)(x+9)
3. Преобразование правой части:
1/x+5-1/x+21=(x+21)-(x+5)/(x+5)(x+21)=16/(x+5)(x+21)
4. Приравниваем упрощенные части:
6/(x+3)(x+9)=16/(x+5)(x+21)
5. Сокращаем дроби на 2 для удобства:
3/(x+3)(x+9)=8/(x+5)(x+21)
6. Используем свойство пропорции:
3(x+5)(x+21)=8(x+3)(x+9)
7. Раскрываем скобки:
Левая часть: 3(x2+26x+105)=3x2+78x+315.
Правая часть: 8(x2+12x+27)=8x2+96x+216.
Уравнение принимает вид:
3x2+78x+315=8x2+96x+216
8. Переносим все слагаемые в правую часть (чтобы коэффициент при x2 был положительным):
5x2+18x-99=0
9. Решаем квадратное уравнение:
Найдем дискриминант:
D=182-4·5·(-99)=324+1980=2304
D=48
Корни:
x1=-18-48/10=-66/10=-6,6
x2=-18+48/10=30/10=3
10. Проверка ОДЗ:
Числа -6,6 и 3 не совпадают с запрещенными значениями (-3,-5,-9,-21). Оба корня подходят.
а) 8,2; 13
б) -6,6; 3
В обоих пунктах использован метод алгебраических преобразований: приведение разности дробей к одной дроби, получение пропорции и решение resulting quadratic equation. Ключ из учебника полностью подтвержден расчетами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 238 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 238?
Краткий ответ: а) 8,2; 13 б) -6,6; 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.