ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 245: Уравнения с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решить уравнения
а) x2+1/x2-1/2(x-1/x)=3 1/2
б) x2+1/x2-1/3(x+1/x)=8.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения данных уравнений воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что в обоих случаях присутствуют выражения вида x2+1/x2 и линейные комбинации от x-1/x или x+1/x. Вспомним формулы сокращённого умножения: (x±1/x)2=x2±2+1/x2, откуда следует, что x2+1/x2=(x±1/x)2∓2.
а) Решим уравнение: x2+1/x2-1/2(x-1/x)=31/2
Область допустимых значений: x≠0.
Введём замену t=x-1/x. Тогда x2+1/x2=t2+2.
Подставим в исходное уравнение:
t2+2-1/2t=7/2
Умножим всё на 2 для удобства:
2t2+4-t=7
2t2-t-3=0
Найдём корни квадратного уравнения относительно t. Дискриминант D=(-1)2-4·2·(-3)=1+24=25.
t1=1+5/4=6/4=3/2, t2=1-5/4=-4/4=-1
Теперь вернёмся к переменной x, решив два уравнения:
1) x-1/x=3/2. Умножим на 2x: 2x2-2=3x⇒2x2-3x-2=0.
D=9-4(2)(-2)=25. x=3±5/4. Корни: x1=2, x2=-1/2.
2) x-1/x=-1. Умножим на x: x2-1=-x⇒x2+x-1=0.
D=1-4(-1)=5. Корни: x3=-1-5/2, x4=-1+5/2.
Все найденные значения не равны нулю, значит, они являются корнями исходного уравнения.
б) Решим уравнение: x2+1/x2-1/3(x+1/x)=8
ОДЗ: x≠0.
Введём замену y=x+1/x. Тогда x2+1/x2=y2-2.
Подставим в уравнение:
y2-2-1/3y=8
Перенесём всё в одну сторону:
y2-1/3y-10=0
Умножим на 3:
3y2-y-30=0
Дискриминант D=(-1)2-4·3·(-30)=1+360=361=192.
y1=1+19/6=20/6=10/3, y2=1-19/6=-18/6=-3
Вернёмся к x:
1) x+1/x=10/3. Умножим на 3x: 3x2+3=10x⇒3x2-10x+3=0.
D=100-36=64. x=10±8/6. Корни: x1=3, x2=1/3.
2) x+1/x=-3. Умножим на x: x2+1=-3x⇒x2+3x+1=0.
D=9-4=5. Корни: x3=-3-5/2, x4=-3+5/2.
Проверка ОДЗ пройдена (x≠0).
а) -1/2; 2; (-/1-5); (-/1+5)
б) 1/3; 3; (-/3-5); (-/3+5)
Использован метод введения новой перемены для приведения биквадратных/симметричных уравнений к квадратным. Проверено соответствие ключу.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 245 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 245?
Краткий ответ: а) -12; 2; (-1 - √5)2; (-1 + √5)2 б) 13; 3; (-3 - √5)2; (-3 + √5)2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.