ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 274: Неравенства с одной переменной

План решения:

• Для пункта а) вспомним, что выражение под корнём чётной степени должно быть неотрицательным. Составим неравенство 12x-3x²≥0 и решим его методом интервалов.
• Для пункта б) учтём два условия: знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть строго положительным (так как оно стоит в знаменателе). Составим неравенство 2x²-12x+18>0.

Вычисление:

а) Функция y=12x-3x² определена при условии:

12x-3x²≥0 Разделим обе части на -3, помня о смене знака неравенства на противоположный: x²-4x≤0 Разложим левую часть на множители: x(x-4)≤0 Корни уравнения x(x-4)=0: x₁=0, x₂=4. Так как старший коэффициент при x² после деления был положительным (в исходном неравенстве ветви параболы направлены вниз), то значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Область определения: [0;4].

б) Функция y=1/2x²-12x+18 определена при условии, что подкоренное выражение строго больше нуля (оно не может быть равно нулю, так как находится в знаменателе): 2x²-12x+18>0 Разделим неравенство на 2: x²-6x+9>0 Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: (x-3)²>0 Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда основание равно нулю, то есть при x=3. Во всех остальных случаях (x-3)²>0. Следовательно, неравенство выполняется для всех x, кроме x=3. Область определения: (-∞;3)∪(3;+∞).

Проверка:

• В пункте а) возьмём точку внутри интервала, например x=2: 12(2)-3(2²)=24-12=12>0. Корень извлечётся. Возьмём точку вне интервала, x=5: 12(5)-3(25)=60-75=-15<0. Корня нет. Границы 0 и 4 дают ноль под корнем, что допустимо.
• В пункте б) при x=3 знаменатель обращается в ноль (0=0), функция не определена. При любом другом x, например x=0, получаем 1/18, что является допустимым значением.