ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 278: Неравенства с одной переменной

План решения:

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через x см. Тогда большая сторона будет равна x+7 см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: S=x(x+7). По условию задача требует найти такие значения x, при которых площадь не превышает 60 см², то есть выполняется неравенство x(x+7)≤60. Также учтём геометрический смысл: длина стороны должна быть положительной (x>0).

Вычисление:

1. Составим неравенство и приведём его к стандартному виду: x²+7x≤60 x²+7x-60≤0

2. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения x²+7x-60=0. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета сумма корней равна -7, а произведение -60. Подходящие числа: 5 и -12. Проверка: 5+(-12)=-7, 5·(-12)=-60. Таким образом, корни уравнения: x₁=-12, x₂=5.

3. Решим неравенство x²+7x-60≤0. Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положителен), то значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями: -12≤x≤5

4. Учтём ограничение из условия задачи: x — это длина стороны, поэтому x>0. Пересечём полученный промежуток с условием положительности: 0<x≤5

Проверка и интерпретация ответа:

В условии сказано «Найти возможную длину...». Обычно в таких задачах для 9 класса подразумевается поиск целых значений, если ключ содержит набор чисел. Посмотрим на ключ: «а) 2, 3, 4, 5; б) 2, 3, 4». Это странно, так как пункт один, а ключ два. Вероятно, в оригинальном источнике были подпункты или опечатка в ключе. Однако математически точным ответом является промежуток (0;5]. Если требуется выбрать целые положительные значения длины меньшей стороны, то подходят все натуральные числа от 1 до 5 включительно: 1,2,3,4,5. Сравним с ключом. Ключ предлагает варианты «2, 3, 4, 5» или «2, 3, 4». Почему исключена единица? Проверим x=1: стороны 1 и 8, площадь 8, что ≤60. Единица подходит. Почему ключ может её исключать? Возможно, в условии было скрыто требование «целая длина больше 1» или ошибка в ключе. Но строго по тексту: любая длина x∈(0;5] верна. Если речь о целых числах, то ответ: 1,2,3,4,5. Однако, следуя формату вывода и ориентируясь на типичные школьные задачи такого типа, где часто спрашивают целые решения, запишем множество целых решений. Заметим, что ключ «а) 2, 3, 4, 5» может относиться к задаче, где x должно быть таким, чтобы вторая сторона тоже была целой (что верно для всех целых x) или есть другое ограничение. Без дополнительных данных мы даём полный математический ответ. Если предположить, что вопрос был «Какие целые значения может принимать длина...», то ответ: 1, 2, 3, 4, 5. Ключ выглядит неполным или ошибочным относительно пункта «1». Тем не менее, я приведу решение, показывающее весь диапазон.