ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 275: Неравенства с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах.) Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство
а) 7x2-10x+7>0
б) -6y2+11y-10<0
в) 4x2+12x+9≥0
г) 1/4x^2 - 8x+64≥0
д) -9y2+6y-1≤0
е) -5x2+8x-5<0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства неравенств квадратного трёхчлена ax2+bx+c при любом значении переменной необходимо проанализировать знак старшего коэффициента a и дискриминанта D=b2-4ac. Если a>0 и D<0, то выражение всегда положительно. Если a<0 и D<0, то выражение всегда отрицательно. Если D=0, то выражение принимает нулевое значение в одной точке, а в остальных имеет знак коэффициента a.
а) 7x2-10x+7>0
- Коэффициенты: a=7,b=-10,c=7.
- Так как a=7>0, ветви параболы направлены вверх.
- Вычислим дискриминант: D=(-10)2-4·7·7=100-196=-96.
- Поскольку D<0, уравнение не имеет корней, и парабола целиком лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство верно для любого x.
б) -6y2+11y-10<0
- Коэффициенты: a=-6,b=11,c=-10.
- Так как a=-6<0, ветви параболы направлены вниз.
- Вычислим дискриминант: D=112-4·(-6)·(-10)=121-240=-119.
- Поскольку D<0, парабола целиком лежит ниже оси абсцисс. Неравенство строго меньше нуля верно для любого y.
в) 4x2+12x+9≥0
- Заметим, что левая часть является полным квадратом: 4x2+12x+9=(2x+3)2.
- Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (2x+3)2≥0 при всех x.
- Равенство достигается при x=-1.5. Таким образом, неравенство верно для любого значения переменной.
г) 1/4x2-8x+64≥0
- Вынесем множитель или представим как полный квадрат. Заметим, что это тоже полный квадрат: (1/2x-8)2=1/4x2-2·1/2x·8+64=1/4x2-8x+64.
- Следовательно, исходное выражение равно (1/2x-8)2.
- Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (1/2x-8)2≥0 верно для любого x.
д) -9y2+6y-1≤0
- Вынесем минус за скобки: -(9y2-6y+1).
- В скобках стоит полный квадрат: 9y2-6y+1=(3y-1)2.
- Тогда выражение принимает вид: -(3y-1)2.
- Так как (3y-1)2≥0, то с минусом перед ним получаем -(3y-1)2≤0 для любого y.
е) -5x2+8x-5<0
- Коэффициенты: a=-5,b=8,c=-5.
- Так как a=-5<0, ветви параболы направлены вниз.
- Вычислим дискриминант: D=82-4·(-5)·(-5)=64-100=-36.
- Поскольку D<0, парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена под ней. Значит, выражение всегда отрицательно, и неравенство верно для любого x.
а) Доказано (a>0,D<0)
б) Доказано (a<0,D<0)
в) Доказано (полный квадрат)
г) Доказано (полный квадрат)
д) Доказано (минус полный квадрат)
е) Доказано (a<0,D<0)
Ключ из раздела «Ответы» («Не превосходит 5 см») явно относится к другой задаче (вероятно, геометрической) и не соответствует условию данной алгебраической задачи на доказательство неравенств. Решение построено строго по математическому смыслу условия.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 275 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 275?
Краткий ответ: а) Доказано (a>0, D<0) б) Доказано (a<0, D<0) в) Доказано (полный квадрат) г) Доказано (полный квадрат) д) Доказано (минус полный квадрат) е) Доказано (a<0, D<0).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Неравенства с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.