9 класс Неравенства с одной переменной § 6. Неравенства с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 298: Неравенства с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 297 299 →

Условие

Решите неравенства

а) (5x+4)/x < 4

б) (6x+1)/(x+1) > 1

в) x/(x-1) ≥ 2

г) (3x-1)/(x+2) ≥ 1.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения рациональных неравенств будем использовать метод интервалов. Сначала перенесём все слагаемые в левую часть, приведём к общему знаменателю и упростим числитель. Затем найдём корни числителя и знаменателя, отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на полученных промежутках.

а) 5x+4/x<4

Переносим 4 влево:

5x+4/x-4<0

Приводим к общему знаменателю:

5x+4-4x/x<0⇒x+4/x<0

Корни: числитель равен нулю при x=-4, знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают ось на три интервала: (-∞;-4), (-4;0), (0;+∞).

Проверим знак дроби x+4/x на каждом интервале:

x<-4: числитель «−», знаменатель «−» → дробь «+»;
-4<x<0: числитель «+», знаменатель «−» → дробь «−»;
x>0: числитель «+», знаменатель «+» → дробь «+».

Нам нужно, чтобы дробь была меньше нуля (отрицательной). Это выполняется на интервале (-4;0). Точки -4 и 0 не входят, так как неравенство строгое (<).

Ответ а): (-4;0)

б) 6x+1/x+1>1

Переносим 1 влево:

6x+1/x+1-1>0

Приводим к общему знаменателю:

6x+1-(x+1)/x+1>0⇒5x/x+1>0

Корни: числитель равен нулю при x=0, знаменатель обращается в ноль при x=-1. Интервалы: (-∞;-1), (-1;0), (0;+∞).

Определим знаки:

x<-1: числитель «−», знаменатель «−» → дробь «+»;
-1<x<0: числитель «−», знаменатель «+» → дробь «−»;
x>0: числитель «+», знаменатель «+» → дробь «+».

Неравенство строгое (>), нам нужны положительные значения. Это интервалы (-∞;-1) и (0;+∞). Точки -1 и 0 исключены.

Ответ б): (-∞;-1)∪(0;+∞)

в) x/x-1≥2

Переносим 2 влево:

x/x-1-2≥0

Приводим к общему знаменателю:

x-2(x-1)/x-1≥0⇒x-2x+2/x-1≥0⇒-x+2/x-1≥0

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

x-2/x-1≤0

Корни: числитель равен нулю при x=2, знаменатель обращается в ноль при x=1. Интервалы: (-∞;1), (1;2), (2;+∞).

Определим знаки для x-2/x-1:

x<1: числитель «−», знаменатель «−» → дробь «+»;
1<x<2: числитель «−», знаменатель «+» → дробь «−»;
x>2: числитель «+», знаменатель «+» → дробь «+».

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Отрицательные значения получаем на интервале (1;2). Так как неравенство нестрогое (≤), точка x=2 входит в решение (числитель обращается в 0). Точка x=1 не входит, так как она обнуляет знаменатель.

Ответ в): (1;2]

г) 3x-1/x+2≥1

Переносим 1 влево:

3x-1/x+2-1≥0

Приводим к общему знаменателю:

3x-1-(x+2)/x+2≥0⇒2x-3/x+2≥0

Корни: числитель равен нулю при 2x-3=0⇒x=1.5, знаменатель обращается в ноль при x=-2. Интервалы: (-∞;-2), (-2;1.5), (1.5;+∞).

Определим знаки:

x<-2: числитель «−», знаменатель «−» → дробь «+»;
-2<x<1.5: числитель «−», знаменатель «+» → дробь «−»;
x>1.5: числитель «+», знаменатель «+» → дробь «+».

Нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю. Положительные значения на (-∞;-2) и (1.5;+∞). Точка x=1.5 входит (нестрогое неравенство), точка x=-2 не входит (знаменатель).

Ответ г): (-∞;-2)∪[1.5;+∞)

Ответ

а) (-4; 0)

б) (-∞; -1) ∪ (0; +∞)

в) (1; 2]

г) (-∞; -2) ∪ [1.5; +∞)

Все пункты решены методом интервалов после приведения к виду f(x) op 0. В пункте в) важно помнить про изменение знака неравенства при умножении на -1 и включение корня числителя. В пункте г) ответ дан в десятичном виде 1.5, что эквивалентно 3/2.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 298 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 298?

Краткий ответ: а) (-4; 0) б) (-∞; -1) ∪ (0; +∞) в) (1; 2] г) (-∞; -2) ∪ [1.5; +∞).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Неравенства с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.