ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 301: Неравенства с одной переменной

План решения:

• Проанализируем структуру уравнения x⁴-x³-51x²+49x+98=0 и предложенного набора чисел.
• Определим критерий для исключения корней без подстановки (теорема о рациональных корнях или оценка модуля).
• Выполним проверку оставшихся кандидатов методом подстановки или разложения на множители.

Исключение без подстановки:

Рассмотрим свободный член уравнения c₀=98 и старший коэффициент a₀=1. Согласно теореме о рациональных корнях, любой целый корень должен быть делителем свободного члена. Числа из списка: ±1,±2,±3,±4,±7. Все они являются делителями числа 98 (98=2·7²), поэтому по этому признаку исключить нельзя ни одно число.

Однако можно использовать оценку величины корней. Если |x| велико, то доминирует слагаемое x⁴. Попробуем оценить границы. Для x=4: 4⁴=256, а сумма остальных членов порядка 4³+51·4²≈64+816>256. Но знак перед x⁴ положительный, а перед остальными смешанный. Более надежный способ — проверка четности или делимости.

Заметим интересный факт: если сложить коэффициенты при нечетных степенях и вычесть коэффициенты при четных (или наоборот), можно проверить наличие корня x=1 или x=-1 мгновенно. Для x=1: сумма всех коэффициентов 1-1-51+49+98=96≠0. Значит, 1 не является корнем. Это можно было предвидеть, но формально это требует одного действия сложения. Для x=-1: чередующаяся сумма 1+1-51-49+98=100-100=0. Значит, -1 точно корень.

Можно ли исключить другие числа совсем без вычислений? Строго говоря, нет, так как все они кандидаты в целые корни. Но часто в таких задачах подразумевается исключение тех, которые заведомо не подходят по модулю или знаку. Например, если бы мы знали, что произведение корней равно 98, а сумма равна 1, то большие по модулю числа могли бы быть отсеяны. Однако самый простой способ «исключить сразу» — это заметить, что некоторые числа слишком велики или малы относительно других членов, либо использовать признак делимости. В данном контексте наиболее обоснованным исключением без полной подстановки является использование свойства суммы коэффициентов для x=1 (быстрая проверка) и, возможно, эвристическая оценка для больших чисел, но математически корректнее просто проверить всех.

Давайте проверим кандидатов систематически.

Проверка кандидатов:

Обозначим P(x)=x⁴-x³-51x²+49x+98.

1. x=-1 : P(-1)=(-1)⁴-(-1)³-51(-1)²+49(-1)+98=1+1-51-49+98=100-100=0. Корень есть.
2. x=1 : P(1)=1-1-51+49+98=96≠0. Не корень.
3. x=2 : P(2)=16-8-51(4)+49(2)+98=8-204+98+98=204-204=0. Корень есть.
4. x=-2 : P(-2)=16-(-8)-51(4)+49(-2)+98=16+8-204-98+98=24-204=-180≠0. Не корень.
5. x=7 : P(7)=7⁴-7³-51(7²)+49(7)+98. Вынесем 7²=49: P(7)=49(49-7-51)+49(7)+98=49(-9)+343+98=-441+441=0. Корень есть.
6. x=-7 : P(-7)=(-7)⁴-(-7)³-51(-7)²+49(-7)+98=2401+343-51(49)-343+98. Сокращаем +343 и -343: P(-7)=2401-2499+98=2499-2499=0. Корень есть.
7. x=3 : P(3)=81-27-51(9)+49(3)+98=54-459+147+98=299-459≠0. Не корень.
8. x=-3 : P(-3)=81+27-51(9)-147+98=108-459-49=-400≠0. Не корень.
9. x=4 : P(4)=256-64-51(16)+49(4)+98=192-816+196+98=486-816≠0. Не корень.
10. x=-4 : P(-4)=256+64-51(16)-196+98=320-816-98≠0. Не корень.

Какие можно исключить сразу?

Строго математически, без вычислений вообще, исключить нельзя ни одно целое число из списка делителей свободного члена. Однако, если считать «подстановкой» полный расчет значения многочлена, то числа 1 и -1 проверяются тривиально через сумму коэффициентов. Также можно заметить, что если x является корнем, то x должно делить 98. Все предложенные числа делят 98. Поэтому ответ на вопрос «какие исключить сразу» обычно подразумевает те, которые не проходят простейшие проверки (например, x=1 отсеивается мгновенно). Но чаще всего в школьной практике под «исключением сразу» понимают отбрасывание чисел, которые явно не могут быть корнями по оценке модуля или другим быстрым признакам. В данном случае все числа требуют хотя бы минимальной проверки. Тем не менее, корни найдены: -1,2,7,-7.