ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 307: Неравенства с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решить уравнения методом введения новой переменной
а) (x2+8x)2-4(x+4)2=256
б) 2(x2-6x)2-120(x-3)2=8.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется решить уравнения четвёртой степени, используя метод введения новой переменной. Ключевая идея состоит в том, чтобы выразить сложные части уравнений через квадрат двучлена вида (x+a)2, что позволяет свести исходное уравнение к квадратному относительно новой переменной.
а) Решим уравнение (x2+8x)2-4(x+4)2=256.
1. Заметим связь между выражениями x2+8x и (x+4)2. Раскроем скобки во втором выражении: (x+4)2=x2+8x+16. Отсюда следует, что x2+8x=(x+4)2-16.
2. Введём новую переменную y=(x+4)2. Тогда первое слагаемое уравнения можно записать как ((y-16))2. Уравнение принимает вид:
(y-16)2-4y=2563. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
y2-32y+256-4y-256=0 y2-36y=04. Решим полученное квадратное уравнение методом разложения на множители:
y(y-36)=0Корни: y1=0 или y2=36.
5. Вернёмся к исходной переменной x, подставив значения y:
- Если y=0, то (x+4)2=0⇒x+4=0⇒x=-4.
- Если y=36, то (x+4)2=36⇒x+4=±6.
Отсюда получаем два корня: x1=-4-6=-10 и x2=-4+6=2.
Ответ для пункта а): -10;-4;2.
б) Решим уравнение 2(x2-6x)2-120(x-3)2=8.
1. Аналогично предыдущему пункту, найдём связь между x2-6x и (x-3)2. Раскроем квадрат: (x-3)2=x2-6x+9. Следовательно, x2-6x=(x-3)2-9.
2. Введём новую переменную t=(x-3)2. Уравнение примет вид:
2(t-9)2-120t=83. Раскроем скобки:
2(t2-18t+81)-120t-8=0 2t2-36t+162-120t-8=0 2t2-156t+154=04. Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:
t2-78t+77=05. Найдём корни по теореме Виета или дискриминанту. Сумма корней равна 78, произведение — 77. Очевидные корни: t1=1 и t2=77.
6. Вернёмся к переменной x:
- Если t=1, то (x-3)2=1⇒x-3=±1. Корни: x=3-1=2 и x=3+1=4.
- Если t=77, то (x-3)2=77⇒x-3=±77. Корни: x=3-77 и x=3+77.
Ответ для пункта б): 2;4;3-77;3+77.
а) -10; -4; 2
б) 2; 4; 3-77; 3+77
Задача решается стандартным методом замены переменной для биквадратных уравнений специального вида. Важно правильно выразить старшую степень через квадрат линейного выражения. В пункте а) замена y=(x+4)2 приводит к уравнению y2-36y=0. В пункте б) замена t=(x-3)2 приводит к уравнению t2-78t+77=0. Все найденные значения новой переменной неотрицательны, поэтому обратная замена даёт действительные корни.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 307 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 307?
Краткий ответ: а) -10; -4; 2 б) 2; 4; 3 - √77; 3 + √77.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Неравенства с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.