ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 308: уравнения

Для решения кубических и более высоких уравнений, где коэффициенты целые числа, удобно использовать метод подбора рациональных корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он должен быть делителем свободного члена.

а) x³+11x-108=0

Свободный член равен -108. Будем перебирать делители числа 108, начиная с небольших положительных чисел, так как при отрицательных x левая часть будет отрицательной (сумма двух отрицательных чисел минус положительное), а нам нужен ноль.

• Попробуем x=1: 1³+11·1-108=1+11-108=-96≠0.
• Попробуем x=2: 2³+11·2-108=8+22-108=-78≠0.
• Попробуем x=3: 3³+11·3-108=27+33-108=60-108=-48≠0.
• Попробуем x=4: 4³+11·4-108=64+44-108=108-108=0.

Корень найден: x₁=4. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разложим многочлен на множители. Разделим x³+11x-108 на (x-4) методом столбика или группировки:

Рассмотрим квадратный трехчлен x²+4x+27. Найдем его дискриминант:

Так как дискриминант отрицателен, уравнение x²+4x+27=0 не имеет действительных корней. Следовательно, единственный действительный корень исходного уравнения — это x=4.

б) x⁵+6x+44=0

Свободный член равен 44. Делители числа 44: ±1,±2,±4,±11,±22,±44.

Проверим отрицательные значения, так как при x>0 все слагаемые (x⁵, 6x, 44) положительны, и сумма не может равняться нулю.

• Попробуем x=-1: (-1)⁵+6(-1)+44=-1-6+44=37≠0.
• Попробуем x=-2: (-2)⁵+6(-2)+44=-32-12+44=-44+44=0.

Корень найден: x₁=-2. Проверим наличие других действительных корней. Функция f(x)=x⁵+6x+44 является суммой возрастающих функций (y=x⁵ возрастает, y=6x возрастает, константа не влияет на монотонность). Производная f′(x)=5x⁴+6 всегда положительна (5x⁴≥0, значит 5x⁴+6≥6>0).

Поскольку производная строго положительна для всех x, функция f(x) строго возрастает на всей числовой прямой. Строго возрастающая функция пересекает ось абсцисс ровно в одной точке. Значит, корень x=-2 — единственный действительный корень.