ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 311: уравнения

План решения:

1. Запишем условие того, что число m является корнем уравнения. 2. Подставим в уравнение обратное число 1/m и преобразуем выражение. 3. Используя факт, что m≠0 (так как a≠0, то x=0 не может быть корнем), покажем, что полученное выражение равно нулю.

Вычисление:

По условию, число m является корнем уравнения ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0. Это означает, что при подстановке x=m равенство выполняется: am⁴+bm³+cm²+bm+a=0

Так как свободный член уравнения a≠0, то x=0 не может быть его корнем (иначе получилось бы a=0). Следовательно, m≠0, и мы можем рассмотреть обратное к нему число 1/m.

Подставим x=1/m в левую часть исходного уравнения: a(1/m)⁴+b(1/m)³+c(1/m)²+b(1/m)+a Раскроем степени: a/m⁴+b/m³+c/m²+b/m+a Приведем все слагаемые к общему знаменателю m⁴: a+bm+cm²+bm³+am⁴/m⁴ Перегруппируем слагаемые в числителе: am⁴+bm³+cm²+bm+a/m⁴ Заметим, что числитель дроби в точности совпадает с левой частью исходного уравнения, записанной для корня m. По нашему первому шагу мы знаем, что: am⁴+bm³+cm²+bm+a=0 Следовательно, значение выражения при x=1/m равно: 0/m⁴=0

Проверка и вывод:

Мы показали, что если m удовлетворяет уравнению, то и 1/m удовлетворяет ему же. Таким образом, обратное число также является корнем данного уравнения. Что и требовалось доказать.