ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 309: неравенства

Чтобы найти уравнение с единственным целым корнем, проанализируем каждое из предложенных уравнений по очереди. Будем искать целые корни среди делителей свободного члена и проверять их подстановкой.

1. Уравнение x³-x+3=0

Свободный член равен 3. Его целые делители: ±1,±3. Проверим их:

• x=1: 1³-1+3=3≠0;
• x=-1: (-1)³-(-1)+3=-1+1+3=3≠0;
• x=3: 3³-3+3=27≠0;
• x=-3: (-3)³-(-3)+3=-27+3+3=-21≠0.

Целых корней нет. Это уравнение не подходит.

2. Уравнение x⁴+5x²+4=0

Заметим, что для любого действительного числа x выполняется неравенство x⁴≥0 и x²≥0. Следовательно, левая часть уравнения всегда положительна (x⁴+5x²+4≥4>0). Корней (ни целых, ни действительных) это уравнение не имеет.

3. Уравнение x⁴+x²-20=0

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену t=x², где t≥0. Получаем квадратное уравнение:

Найдем корни через дискриминант или теорему Виета. Сумма корней равна -1, произведение -20. Корни: t₁=4, t₂=-5.

Вернемся к переменной x:

• Если x²=4, то x=2 или x=-2.
• Если x²=-5, то действительных корней нет.

Итак, у этого уравнения два целых корня: 2 и -2. По условию нужен один и только один целый корень, поэтому этот вариант не подходит.

4. Уравнение x³-5x+4=0

Свободный член равен 4. Целые делители: ±1,±2,±4. Проверим их:

• x=1: 1³-5(1)+4=1-5+4=0. Значит, x=1 — корень.
• x=-1: (-1)³-5(-1)+4=-1+5+4=8≠0.
• x=2: 2³-5(2)+4=8-10+4=2≠0.
• x=-2: (-2)³-5(-2)+4=-8+10+4=6≠0.
• x=4: 4³-5(4)+4=64-20+4=48≠0.
• x=-4: (-4)³-5(-4)+4=-64+20+4=-40≠0.

Мы нашли один целый корень x=1. Чтобы убедиться, что других целых корней нет, разложим многочлен на множители. Так как x=1 является корнем, делим x³-5x+4 на (x-1):

Осталось проверить, есть ли целые корни у квадратного трехчлена x²+x-4=0. Дискриминант D=1²-4(1)(-4)=1+16=17. Так как 17 не является полным квадратом, корни этого уравнения иррациональные (-1±17/2).

Таким образом, единственное целое решение исходного уравнения — x=1.

Ответ: уравнению №4 соответствует единственный целый корень.