ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 310: квадратные уравнения

Данное уравнение 10x⁴-77x³+150x²-77x+10=0 является возвратным (симметричным), так как коэффициенты при одинаковых степенях x и 1/x равны. Заметим, что x=0 не является корнем уравнения, поэтому мы можем разделить обе части на x².

После деления получаем: 10x²-77x+150-77/x+10/x²=0 Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами: 10(x²+1/x²)-77(x+1/x)+150=0

Введём замену переменной. Пусть t=x+1/x. Тогда возведя в квадрат, получим t²=x²+2+1/x², откуда x²+1/x²=t²-2. Подставим эти выражения в уравнение:

10(t²-2)-77t+150=0 Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 10t²-20-77t+150=0 10t²-77t+130=0

Решим полученное квадратное уравнение относительно t. Найдём дискриминант: D=(-77)²-4·10·130=5929-5200=729=27² Корни уравнения для t: t₁=77+27/20=104/20=5.2=26/5 t₂=77-27/20=50/20=2.5=5/2

Теперь вернёмся к исходной переменной x, решив два уравнения вида x+1/x=t.

1) Для t₁=26/5: x+1/x=26/5 Умножим на 5x: 5x²+5=26x⇒5x²-26x+5=0 Дискриминант: D₁=(-26)²-4·5·5=676-100=576=24². Корни: x_1,2=26±24/10 x₁=50/10=5, x₂=2/10=1/5

2) Для t₂=5/2: x+1/x=5/2 Умножим на 2x: 2x²+2=5x⇒2x²-5x+2=0 Дискриминант: D₂=(-5)²-4·2·2=25-16=9=3². Корни: x_3,4=5±3/4 x₃=8/4=2, x₄=2/4=1/2

Таким образом, все четыре корня найдены. Проверка по теореме Виета или подстановкой подтверждает правильность вычислений.