ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 312: система уравнений

Рассмотрим данные уравнения. Оба они представляют собой сумму двух неотрицательных выражений, равную нулю.

Пункт а)

Уравнение: (x²-4x-12)²+(x²-10x+24)²=0.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (a²≥0), сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из слагаемых равен нулю одновременно. Это приводит нас к системе уравнений:

Решим первое уравнение x²-4x-12=0. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

• D₁=(-4)²-4·1·(-12)=16+48=64;
• x_1,2=4±8/2;
• x₁=6, x₂=-2.

Теперь проверим эти значения во втором уравнении системы x²-10x+24=0:

• При x=6: 6²-10·6+24=36-60+24=0. Корень подходит.
• При x=-2: (-2)²-10·(-2)+24=4+20+24=48≠0. Корень не подходит.

Следовательно, единственным решением является x=6.

Пункт б)

Уравнение: |x²+15x+50|+|x²+7x+10|=0.

Модуль любого действительного числа также неотрицателен (|a|≥0). Сумма модулей равна нулю тогда и только тогда, когда каждый модуль равен нулю. Получаем систему:

Решим второе уравнение x²+7x+10=0 (оно проще):

• По теореме Виета: x₁+x₂=-7, x₁·x₂=10.
• Корни: x₁=-2, x₂=-5.

Проверим полученные значения в первом уравнении x²+15x+50=0:

• При x=-2: (-2)²+15·(-2)+50=4-30+50=24≠0. Не подходит.
• При x=-5: (-5)²+15·(-5)+50=25-75+50=0. Подходит.

Таким образом, единственным общим решением системы является x=-5.