ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 35: Действительные числа

Для решения этих примеров воспользуемся свойствами степеней с натуральными и целыми показателями. Основные правила, которые нам понадобятся:

• a^m·aⁿ=a^m+n (при умножении степени складываются);
• a^m:aⁿ=a^m-n (при делении показатели вычитаются);
• (a^m)ⁿ=a^m·n (при возведении в степень показатели перемножаются);
• a^-n=1/aⁿ.

а) 7⁶×(7²)⁴:7¹¹

Сначала выполним действие в скобках: (7²)⁴=7^2·4=7⁸.

Теперь подставим это значение в выражение: 7⁶×7⁸:7¹¹.

Выполним умножение: 7⁶×7⁸=7⁶⁺⁸=7¹⁴.

Выполним деление: 7¹⁴:7¹¹=7^14-11=7³.

Вычислим числовое значение: 7³=343.

б) 11^-4:11¹³:11¹⁷

Действия выполняются слева направо. Сначала первое деление:

11^-4:11¹³=11^-4-13=11^-17.

Теперь второе деление:

11^-17:11¹⁷=11^-17-17=11^-34.

Ответ можно оставить в виде степени с отрицательным показателем или записать как дробь 1/11³⁴. Обычно в таких задачах оставляют вид со степенью.

в) 5⁹:5^-12:5²⁰

Сначала первое деление:

5⁹:5^-12=5^9-(-12)=5⁹⁺¹²=5²¹.

Теперь второе деление:

5²¹:5²⁰=5^21-20=5¹=5.

г) 10:(5^-2)³:25¹⁴

Упростим части выражения отдельно.

1) (5^-2)³=5^-2·3=5^-6.

2) 25¹⁴=(5²)¹⁴=5^2·14=5²⁸.

Подставим обратно в исходное выражение:

10:5^-6:5²⁸.

Напомним, что 10=2·5. Тогда:

2·5:5^-6:5²⁸=2·5^1-(-6)-28=2·5^1+6-28=2·5^-21.

Это значение равно 2/5²¹, что является очень малым числом. Однако ключ ответа — 0,4. Давайте проверим условие на возможные опечатки. Если бы было 10:(5^-2)³:25^-14? Нет. А если 10:(5^-2)³:25¹? 2·5^1+6-2=2·5⁵. Не подходит. Рассмотрим вариант, где 25¹⁴ может быть ошибкой распознавания для 25^1/4? Или показатель другой? Попробуем получить ответ 0,4 (2/5). Нам нужно, чтобы итоговая степень пятёрки была -1. Имеем 10/(5^-6)/X=2·5⁷/X=2·5^-1⇒X=5⁸. Если 25¹⁴ заменить на 25⁴, то 25⁴=5⁸. Тогда ответ будет 2·5^-1=0.4. Вероятно, в учебнике опечатка в показателе степени у числа 25 (должно быть 4 вместо 14, или аналогичная ошибка в условии). Но мы обязаны решать по данному условию. По данному условию ответ 2·5^-21. Однако, часто в таких сборниках "ключ" правит "условие" из-за ошибок набора. Если предположить, что в условии должно было быть 25⁴, то: 10:5^-6:5⁸=2·5^1+6-8=2·5^-1=0.4. Так как я не могу менять условие, я приведу решение строго по тексту, но отмечу расхождение с ключом, которое возникает из-за вероятной опечатки в показателе степени. Строго по условию: 2·5^-21. Если же ориентироваться на логику школьных задач с "красивым" ответом 0,4, то в условии должна быть степень 25⁴. Я напишу решение для случая, дающего ответ из ключа, так как обычно цель ученика — понять метод, ведущий к ожидаемому результату, но честно предупрежу об этом. Нет, правило гласит: "считай строго по нему... если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Значит, пишу строгое решение. 10:5^-6:5²⁸=2·5^1-(-6)-28=2·5^-21.

д) 15⁵/3³×5⁴:12⁵/3⁶×4⁶

Разложим основания на простые множители.

Первая дробь: (3·5)⁵/3³·5⁴=3⁵·5⁵/3³·5⁴=3^5-3·5^5-4=3²·5¹=9·5=45.

Вторая дробь: (3·4)⁵/3⁶·4⁶=3⁵·4⁵/3⁶·4⁶=3^5-6·4^5-6=3^-1·4^-1=1/3·4=1/12.

Теперь выполним деление первой дроби на вторую:

45:1/12=45·12.

45·12=45·(10+2)=450+90=540.

е) 10¹⁰/2⁸×5⁹:17⁶×8³/34⁷

Упростим первую дробь:

(2·5)¹⁰/2⁸·5⁹=2¹⁰·5¹⁰/2⁸·5⁹=2^10-8·5^10-9=2²·5¹=4·5=20.

Упростим вторую дробь. Заметим, что 34=2·17 и 8=2³.

Числитель: 17⁶·(2³)³=17⁶·2⁹.

Знаменатель: (2·17)⁷=2⁷·17⁷.

Вся вторая дробь: 17⁶·2⁹/2⁷·17⁷=2^9-7·17^6-7=2²·17^-1=4/17.

Выполним деление первой упрощенной части на вторую:

20:4/17=20·17/4.

20:4=5, значит 5·17=85.