ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 351: функции

Для решения неравенств вида P(x)>0 или P(x)<0, где левая часть разложена на линейные множители, удобно использовать метод интервалов. Сначала находим нули каждого множителя, затем определяем знаки произведения на полученных интервалах.

а) (18x-36)(x-7)>0

• Находим корни: 18x-36=0⇒x=2; x-7=0⇒x=7.
• Отмечаем точки 2 и 7 на числовой прямой. Так как старший коэффициент при x² положителен (18·1>0), то справа от наибольшего корня функция положительна.
• Знаки чередуются: на (7;+∞) знак «+», на (2;7) знак «-», на (-∞;2) знак «+».
• Неравенство строгое (>0), поэтому выбираем интервалы со знаком «+»: (-∞;2)∪(7;+∞).

б) (x-7,3)(9,8-x)>0

• Находим корни: x-7,3=0⇒x=7,3; 9,8-x=0⇒x=9,8.
• Обратим внимание на второй множитель (9,8-x). Чтобы привести к стандартному виду с положительным коэффициентом при x, вынесем минус: -(x-9,8). Неравенство примет вид: -(x-7,3)(x-9,8)>0, или (x-7,3)(x-9,8)<0.
• Ищем область, где произведение отрицательно. Для параболы ветвями вверх это промежуток между корнями.
• Ответ: (7,3;9,8).

в) (x+0,8)(4-x)(x-20)<0

• Находим корни: x₁=-0,8; x₂=4; x₃=20.
• Приведем все скобки к виду (x-a). Второй множитель (4-x)=-(x-4). Тогда неравенство: -(x+0,8)(x-4)(x-20)<0. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: (x+0,8)(x-4)(x-20)>0.
• Старший коэффициент положителен. Расставляем знаки методом интервалов для точек -0,8;4;20:
• (20;+∞) — «+»; (4;20) — «-»; (-0,8;4) — «+»; (-∞;-0,8) — «-».
• Нам нужно >0, значит берем интервалы со знаком «+»: (-0,8;4)∪(20;+∞).

г) (10x+3)(17-x)(x-5)≥0

• Находим корни: 10x+3=0⇒x=-0,3; 17-x=0⇒x=17; x-5=0⇒x=5.
• Приведем к стандартному виду. (17-x)=-(x-17). Неравенство: -(10x+3)(x-17)(x-5)≥0. Умножаем на -1: (10x+3)(x-17)(x-5)≤0.
• Корни в порядке возрастания: -0,3;5;17. Старший коэффициент исходного кубического многочлена после приведения к виду с положительным ведущим коэффициентом будет положительным (так как мы умножили на -1, а изначально произведение коэффициентов при x было 10·(-1)·1=-10, то есть парабола/кубика была направлена вниз, но после изменения знака неравенства мы анализируем выражение, которое стремится к +∞ при x→+infty).
• Проверим знаки для (10x+3)(x-17)(x-5)≤0:
• При x>17 все скобки положительны → результат «+».
• При 5<x<17: (x-17)<0, остальные >0 → результат «-».
• При -0,3<x<5: (x-17)<0,(x-5)<0, первая >0 → результат «+».
• При x<-0,3: все три отрицательны → результат «-».
• Нам нужно ≤0. Подходят интервалы со знаком «-» и сами точки корней (так как неравенство нестрогое): (-infty;-0,3]∪[5;17].