ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 355: неравенства
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Определить, равносильны ли следующие пары неравенств
а) (x-3)/(x+1) ≥ 0 и (x-3)(x+1)≥0
б) (x+5)/(x-8) ≤ 0 и (x+5)(x-8)≤0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы определить, равносильны ли неравенства, нужно сравнить множества их решений. Если множества совпадают, то неравенства равносильны.
а) Сравним неравенства x-3/x+1≥0 и (x-3)(x+1)≥0
- Решим первое неравенство методом интервалов.
Нули числителя: x-3=0⇒x=3.
Нули знаменателя (ОДЗ): x+1=0⇒x=-1.
Так как в исходном дробном неравенстве знаменатель не может быть равен нулю, точка x=-1 выкалывается из области определения.
Расставим знаки на числовой прямой для выражения x-3/x+1:
- При x<-1: оба множителя отрицательны, частное положительно (+).
- При -1<x<3: числитель отрицателен, знаменатель положителен, частное отрицательно (-).
- При x>3: оба множителя положительны, частное положительно (+).
Неравенство строгое (≥0), поэтому включаем точки, где выражение обращается в ноль (только x=3), но исключаем точку разрыва (x=-1).
Ответ первого неравенства: x∈(-∞;-1)∪[3;+∞). - Решим второе неравенство.
Это квадратное неравенство. Нули: x1=-1, x2=3.
Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x2 положителен).
Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями или в самих корнях.
Ответ второго неравенства: x∈(-∞;-1]∪[3;+∞). - Сравнение.
Множество решений первого неравенства не содержит точку x=-1, а множество решений второго — содержит.
Следовательно, неравенства не равносильны .
б) Сравним неравенства x+5/x-8≤0 и (x+5)(x-8)≤0
- Решим первое неравенство.
Нули числителя: x+5=0⇒x=-5.
Нули знаменателя (ОДЗ): x-8=0⇒x=8.
Точка x=8 исключается из области определения.
Расставим знаки для x+5/x-8:
- При x<-5: числитель «-», знаменатель «-», частное «+».
- При -5<x<8: числитель «+», знаменатель «-», частное «-».
- При x>8: числитель «+», знаменатель «+», частное «+».
Нам нужно ≤0. Включаем точку x=-5 (где ноль), исключаем x=8 (разрыв).
Ответ первого неравенства: x∈[-5;8). - Решим второе неравенство.
Квадратное неравенство с ветвями вверх.
Нули: x1=-5, x2=8.
Выражение неположительно между корнями, включая сами корни.
Ответ второго неравенства: x∈[-5;8]. - Сравнение.
Множество решений первого неравенства не содержит точку x=8, а множество решений второго — содержит.
Следовательно, неравенства не равносильны .
а) Нет
б) Нет
Основная ошибка учеников здесь — механическое перенесение метода решения дробных неравенств на целые без учета ОДЗ. Дробное неравенство всегда исключает точки, обнуляющие знаменатель, тогда как произведение таких точек допускает.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 355 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 355?
Краткий ответ: а) Нет б) Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и неравенства с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.