9 класс неравенства Глава III. Уравнения и неравенства с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 353: неравенства

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 352 354 →

Условие

Решить неравенство

а) (x^2 + 17)(x - 6)(x+2)<0

б) (2x^2 + 1)x(x - 4) > 0; в) (x-1)²(x-24)<0; г) (x + 7)(x-4)²(x-21)>0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения данных неравенств методом интервалов необходимо определить нули выражений и знаки множителей на полученных промежутках. Важным моментом является анализ четности степеней корней: если корень имеет четную степень (например, (x-a)²), то знак выражения при переходе через этот корень не меняется.

а) (x²+17)(x-6)(x+2)<0

Рассмотрим первый множитель x²+17. Так как x²≥0, то x²+17>0 для любого x. Этот множитель всегда положителен и не влияет на смену знака неравенства, поэтому его можно отбросить, оставив (x-6)(x+2)<0.
Найдем корни уравнения (x-6)(x+2)=0: это x₁=-2 и x₂=6.
Отметим точки на числовой прямой. Так как старший коэффициент положительный, справа от наибольшего корня (x>6) знак «+». Между корнями (-2<x<6) знак «−». Слева от наименьшего корня (x<-2) знак «+».
Нас интересует область, где выражение меньше нуля. Это промежуток между корнями.
Ответ: (-2;6).

б) (2x²+1)x(x-4)>0

Множитель 2x²+1 всегда положителен (2x²≥0⇒2x²+1≥1>0). Его можно исключить из рассмотрения знаков.
Остается решить неравенство x(x-4)>0.
Корни: x₁=0, x₂=4.
Проверяем знаки на интервалах:
- x>4: произведение двух положительных чисел «+».
- 0<x<4: x>0, но x-4<0, произведение «−».
- x<0: оба множителя отрицательны, произведение «+».
Нужна область со знаком «+».
Ответ: (-∞;0)∪(4;+∞).

в) (x-1)²(x-24)<0

Корни выражения: x₁=1 (кратность 2) и x₂=24 (кратность 1).
Так как корень x=1 имеет четную кратность, при переходе через него знак выражения не меняется.
Определим знак на правом крайнем интервале x>24: все скобки положительны, знак «+».
При переходе через x=24 (нечетная кратность) знак меняется на «−». Значит, на интервале (1;24) знак «−».
При переходе через x=1 (четная кратность) знак не меняется. Значит, на интервале (-∞;1) также знак «−».
В самой точке x=1 выражение равно нулю, что не удовлетворяет строгому неравенству <0, поэтому точка 1 исключается.
Нас интересуют области со знаком «−»: (-∞;1) и (1;24).
Ответ: (-∞;1)∪(1;24).

г) (x+7)(x-4)²(x-21)>0

Корни: x₁=-7 (кратность 1), x₂=4 (кратность 2), x₃=21 (кратность 1).
Знак на правом интервале x>21: все множители положительны, знак «+».
Переход через x=21 (нечетная): знак меняется на «−». Интервал (4;21) — минус.
Переход через x=4 (четная): знак не меняется. Интервал (-7;4) — минус.
Переход через x=-7 (нечетная): знак меняется на «+». Интервал (-∞;-7) — плюс.
Нас интересует область со знаком «+». Точки x=4 и x=21 не входят в решение, так как неравенство строгое (>0), а в этих точках выражение равно нулю.
Подходящие интервалы: (-∞;-7) и (21;+∞).
Ответ: (-∞;-7)∪(21;+∞).

Ответ

а) (-2; 6)

б) (-∞; 0) ∪ (4; +∞)

в) (-∞; 1) ∪ (1; 24)

г) (-∞; -7) ∪ (21; +∞)

Во всех пунктах использован метод интервалов. В пунктах а) и б) один из множителей всегда положителен и игнорируется при определении знаков. В пунктах в) и г) присутствуют корни четной кратности, которые являются 'прокалываемыми' точками (знак не меняется при переходе), но сами точки исключаются из ответа, так как неравенства строгие.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 353 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 353?

Краткий ответ: а) (-2; 6) б) (-∞; 0) ∪ (4; +∞) в) (-∞; 1) ∪ (1; 24) г) (-∞; -7) ∪ (21; +∞).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и неравенства с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.