ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 354: функции

Для нахождения области определения функции вида y=k/f(x) необходимо выполнить два условия:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: f(x)≥0;
• Знаменатель не может быть равен нулю, значит, подкоренное выражение не может быть равно нулю: f(x)≠0.

Объединяя эти требования, получаем строгое неравенство: f(x)>0. В нашем случае под корнем стоит произведение двух линейных множителей. Решим каждое неравенство методом интервалов.

а) Функция: y=4/(3x-1)(6x+1).

Условие существования функции: (3x-1)(6x+1)>0.

1. Найдём нули множителей: 3x-1=0⇒x=1/3 6x+1=0⇒x=-1/6
2. Отметим точки -1/6 и 1/3 на числовой прямой. Они разбивают её на три промежутка: (-∞;-1/6), (-1/6;1/3) и (1/3;+∞).
3. Определим знак произведения на каждом промежутке. Так как старшие коэффициенты при x положительны (3 и 6), то на крайнем правом промежутке (1/3;+∞) произведение положительно. Знаки чередуются при переходе через корни (так как кратность корней равна 1).
4. Схема знаков:

   Промежуток	(-∞;-1/6)	(-1/6;1/3)	(1/3;+∞)
   Знак произведения	+	-	+

5. Нас интересуют промежутки со знаком «плюс».

Ответ для пункта а): x∈(-∞;-1/6)∪(1/3;+∞).

б) Функция: y=7/(11x+2)(x-4).

Условие существования функции: (11x+2)(x-4)>0.

1. Найдём нули множителей: 11x+2=0⇒x=-2/11 x-4=0⇒x=4
2. Отметим точки -2/11 и 4 на числовой прямой. Промежутки: (-∞;-2/11), (-2/11;4) и (4;+∞).
3. Старшие коэффициенты положительны (11 и 1), поэтому на правом промежутке (4;+∞) произведение положительно. Знаки чередуются.
4. Схема знаков:

   Промежуток	(-∞;-2/11)	(-2/11;4)	(4;+∞)
   Знак произведения	+	-	+

5. Выбираем промежутки со знаком «плюс».

Ответ для пункта б): x∈(-∞;-2/11)∪(4;+∞).