9 класс неравенства Глава III. Уравнения и неравенства с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 356: неравенства

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 355 357 →

Условие

Решить неравенства

а) (x-8)/(x+4) > 0

б) (x+16)/(x-11) < 0

в) (x+1)/(3-x) ≥ 0

г) (6-x)/(x-4) ≤ 0

д) (2x-4)/(3x+3) ≤ 0

е) (5x-1)/(2x+3) ≥ 0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения дробно-рациональных неравенств используем метод интервалов. Сначала находим нули числителя и знаменателя, затем определяем знаки выражения на полученных интервалах. Важно помнить: точки, в которых знаменатель обращается в ноль, всегда исключаются из области определения (скобки круглые), а точки, где числитель равен нулю, включаются или исключаются в зависимости от знака неравенства (≥ или ≤ включают, > или < исключают).

а) x-8/x+4>0

Нули числителя: x-8=0⇒x=8.
Нули знаменателя: x+4=0⇒x=-4.
Разбиваем числовую прямую точками -4 и 8. Так как неравенство строгое (>), обе точки выколотые.
Проверяем знаки на интервалах:
- (-∞;-4): при x=-5, -13/-1>0 (подходит).
- (-4;8): при x=0, -8/4<0 (не подходит).
- (8;+∞): при x=9, 1/13>0 (подходит).
Ответ: x∈(-∞;-4)∪(8;+∞).

б) x+16/x-11<0

Нули числителя: x+16=0⇒x=-16.
Нули знаменателя: x-11=0⇒x=11.
Неравенство строгое (<), обе точки выколотые.
Проверяем знаки:
- (-∞;-16): при x=-20, -4/-31>0 (не подходит).
- (-16;11): при x=0, 16/-11<0 (подходит).
- (11;+∞): при x=12, 28/1>0 (не подходит).
Ответ: x∈(-16;11).

в) x+1/3-x≥0

Нули числителя: x+1=0⇒x=-1.
Нули знаменателя: 3-x=0⇒x=3.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка x=3 всегда выколотая. Числитель может быть равен нулю, так как неравенство нестрогое (≥), поэтому точка x=-1 закрашенная.
Проверяем знаки:
- (-∞;-1): при x=-2, -1/5<0 (не подходит).
- [-1;3): при x=0, 1/3>0 (подходит).
- (3;+∞): при x=4, 5/-1<0 (не подходит).
Ответ: x∈[-1;3).

г) 6-x/x-4≤0

Нули числителя: 6-x=0⇒x=6.
Нули знаменателя: x-4=0⇒x=4.
Точка x=4 выколотая (знаменатель). Точка x=6 закрашенная (числитель, нестрогое неравенство).
Проверяем знаки:
- (-∞;4): при x=0, 6/-4<0 (подходит).
- (4;6]: при x=5, 1/1>0 (не подходит).
- [6;+∞): при x=7, -1/3<0 (подходит).
Ответ: x∈(-∞;4)∪[6;+∞).

д) 2x-4/3x+3≤0

Упростим выражение, вынеся множители: 2(x-2)/3(x+1)≤0. Множители 2/3 положительны и не влияют на знак неравенства. Решаем эквивалентное неравенство x-2/x+1≤0.
Нули числителя: x-2=0⇒x=2.
Нули знаменателя: x+1=0⇒x=-1.
Точка x=-1 выколотая. Точка x=2 закрашенная.
Проверяем знаки для x-2/x+1:
- (-∞;-1): при x=-2, -4/-1>0 (не подходит).
- (-1;2]: при x=0, -2/1<0 (подходит).
- (2;+∞): при x=3, 1/4>0 (не подходит).
Ответ: x∈(-1;2].

е) 5x-1/2x+3≥0

Нули числителя: 5x-1=0⇒x=0.2 (или 1/5).
Нули знаменателя: 2x+3=0⇒x=-1.5 (или -3/2).
Точка x=-1.5 выколотая. Точка x=0.2 закрашенная.
Проверяем знаки:
- (-∞;-1.5): при x=-2, -11/-1>0 (подходит).
- (-1.5;0.2): при x=0, -1/3<0 (не подходит).
- [0.2;+∞): при x=1, 4/5>0 (подходит).
Ответ: x∈(-∞;-1.5)∪[0.2;+∞).

Ответ

а) (-∞;-4)∪(8;+∞)

б) (-16;11)

в) [-1;3)

г) (-∞;4)∪[6;+∞)

д) (-1;2]

е) (-∞;-1.5)∪[0.2;+∞)

В пункте д) можно было упростить дробь, сократив на константы, но это не обязательно для метода интервалов. В пункте е) удобно использовать десятичные дроби или обыкновенные (1/5 и -3/2). Ключ совпадает с полученными ответами.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 356 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 356?

Краткий ответ: а) (-∞; -4) (8; +∞) б) (-16; 11) в) [-1; 3) г) (-∞; 4) [6; +∞) д) (-1; 2] е) (-∞; -1.5) [0.2; +∞).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и неравенства с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.