ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 357: неравенства

Для решения рациональных неравенств будем использовать метод интервалов. Сначала перенесём все слагаемые в левую часть, приведём к общему знаменателю и упростим числитель. Затем найдём нули числителя и точки разрыва (нули знаменателя), отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на полученных интервалах.

а) Решим неравенство 6x+2/x+4<5

1. Переносим 5 влево: 6x+2/x+4-5<0.
2. Приводим к общему знаменателю: 6x+2-5(x+4)/x+4<0⇒6x+2-5x-20/x+4<0⇒x-18/x+4<0.
3. Находим критические точки:
   • Числитель равен нулю при x=18.
   • Знаменатель равен нулю при x=-4 (эта точка не входит в решение).
4. Расставляем знаки на интервалах (-∞;-4), (-4;18), (18;+∞).
   • При x=0 (в интервале (-4;18)): -18/4<0. Знак «минус».
   • При x=-5: -23/-1>0. Знак «плюс».
   • При x=20: 2/24>0. Знак «плюс».
5. Нас интересует область со знаком «меньше нуля». Это интервал (-4;18).

б) Решим неравенство 5x+8/x>1

1. Переносим 1 влево: 5x+8/x-1>0.
2. Приводим к общему знаменателю: 5x+8-x/x>0⇒4x+8/x>0.
3. Сокращаем на 4 (знак неравенства сохраняется): x+2/x>0.
4. Критические точки:
   • Числитель равен нулю при x=-2.
   • Знаменатель равен нулю при x=0 (точка выколотая).
5. Определяем знаки на интервалах (-∞;-2), (-2;0), (0;+∞).
   • Методом подбора или «волны»: старший коэффициент положительный, справа от наибольшей корня знак «+».
   • x>0: «+».
   • -2<x<0: «-».
   • x<-2: «+».
6. Нас интересует строгое неравенство «больше нуля». Решение: (-∞;-2)∪(0;+∞).

в) Решим неравенство 3-2x/3x+2≤1

1. Переносим 1 влево: 3-2x/3x+2-1≤0.
2. Приводим к общему знаменателю: 3-2x-(3x+2)/3x+2≤0⇒3-2x-3x-2/3x+2≤0⇒1-5x/3x+2≤0.
3. Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы сделать коэффициенты при x положительными (не забываем поменять знак неравенства на противоположный): 5x-1/3x+2≥0
4. Критические точки:
   • Числитель равен нулю при 5x-1=0⇒x=1/5.
   • Знаменатель равен нулю при 3x+2=0⇒x=-2/3 (точка выколотая).
5. Расставляем знаки для 5x-1/3x+2 на интервалах (-∞;-2/3), [-2/3;1/5], [1/5;+∞).
   • Старшие коэффициенты положительные, справа от большего корня (x>1/5) знак «+».
   • Между корнями (-2/3<x<1/5) знак «-».
   • Левее меньшего корня (x<-2/3) знак «+».
6. Нас интересует «больше или равно нулю». Включаем точку x=1/5 (числитель обращается в 0), исключаем x=-2/3 (деление на ноль). Решение: (-∞;-2/3)∪[1/5;+∞).

г) Решим неравенство 5x-4/x+8≥15

1. Переносим 15 влево: 5x-4/x+8-15≥0.
2. Приводим к общему знаменателю: 5x-4-15(x+8)/x+8≥0.
3. Упрощаем числитель: 5x-4-15x-120=-10x-124. Получаем: -10x-124/x+8≥0.
4. Разделим обе части на -10 (меняем знак неравенства): x+12.4/x+8≤0 Или оставим целые числа, умножив на -1: 10x+124/x+8≤0.
5. Критические точки:
   • Числитель равен нулю при 10x+124=0⇒x=-12.4.
   • Знаменатель равен нулю при x=-8 (точка выколотая).
6. Определяем знаки для 10x+124/x+8≤0.
   • Интервалы: (-∞;-12.4), [-12.4;-8), (-8;+∞).
   • Проверка знаков: при больших x дробь положительна. При переходе через корни знаки меняются.
   • x>-8: «+».
   • -12.4<x<-8: «-».
   • x<-12.4: «+».
7. Нас интересует «меньше или равно нулю». Включаем x=-12.4, исключаем x=-8. Решение: [-12.4;-8).