ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 358: линейные уравнения

Для классификации уравнений с двумя переменными x и y необходимо привести каждое из них к каноническому виду или проанализировать степени переменных. Вспомним основные формы:

• Прямая : линейное уравнение вида Ax+By+C=0, где A²+B²≠0. Переменные входят в первой степени.
• Окружность : уравнение вида (x-a)²+(y-b)²=R² или x²+y²+Dx+Ey+F=0, где коэффициенты при x² и y² равны и положительны, а смешанных членов (xy) нет.
• Парабола : квадратичное уравнение относительно одной переменной и линейное относительно другой, например, y=ax²+bx+c или x=ay²+by+c.
• Гипербола : уравнение вида x²/a²-y²/b²=1 (или наоборот), либо xy=k (k≠0).
• Другие случаи : вырожденные коники (например, две пересекающиеся прямые) или уравнения, не описывающие стандартные кривые второго порядка в привычном смысле.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

1. а) x+y/3=1. Умножим обе части на 3: x+y=3. Это линейное уравнение. Это уравнение прямой.
2. б) x²+0,5y=4. Выразим y: 0,5y=4-x²⇒y=8-2x². Квадратичная зависимость от x, линейная от y. Это уравнение параболы.
3. в) 8+3xy=4. Перенесем слагаемые: 3xy=-4⇒xy=-4/3. Произведение переменных равно константе. Это уравнение гиперболы.
4. г) x²+y²-16=0. Перенесем свободный член: x²+y²=16. Сумма квадратов переменных равна числу. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R=4.
5. д) x²-2x-y=0. Выразим y: y=x²-2x. Квадратичная функция от x. Это уравнение параболы.
6. е) xy=6. Произведение переменных равно константе. Это уравнение гиперболы.
7. ж) x²-y²=0. Разложим на множители по формуле разности квадратов: (x-y)(x+y)=0. Это произведение двух линейных множителей равно нулю, значит, хотя бы один из них равен нулю. То есть это объединение двух прямых y=x и y=-x. Формально это гипербола с нулевой действительной осью (вырожденная гипербола), но в школьном курсе чаще говорят, что это две пересекающиеся прямые . Если строго выбирать из списка «прямые, гиперболы, параболы, окружности», то это не является ни одной из этих фигур в их стандартном непустом/невырожденном виде, кроме как частным случаем гиперболы. Однако обычно такие уравнения относят к вырожденным коникам . Давайте проверим остальные пункты, чтобы понять контекст. Часто в таких задачах x²-y²=0 не называют просто «гиперболой», так как она не имеет ветвей в обычном понимании. Но если нужно выбрать из четырех видов, то ближе всего гипербола. Однако, посмотрим на пункт з и и. Вернемся к этому позже. Обычно в учебниках алгебры 9 класса под «гиперболой» понимают xy=k или x²/a²-y²/b²=1. Уравнение x²-y²=0 задает пару прямых. Поэтому его можно отнести к категории «не относятся ни к одному из перечисленных видов» (если считать виды только непустыми графиками одного типа) или к вырожденной гиперболе. В данном решении мы укажем, что это пара прямых.
8. з) x²+y²=4. Аналогично пункту г). Это уравнение окружности с радиусом R=2.
9. и) 2x=3y. Можно записать как 2x-3y=0. Линейное уравнение. Это уравнение прямой.
10. к) 8x+3y=0. Линейное уравнение. Это уравнение прямой.

Теперь систематизируем ответ по категориям:

Проверка пункта ж): Уравнение x²-y²=0 эквивалентно системе x=y или x=-y. Графиком является две пересекающиеся прямые. Поскольку в условии спрашивается про «уравнения прямых» (во множественном числе, но обычно подразумевается одна линия), «гипербол», «парабол», «окружностей», то график из двух прямых не является одной прямой, одной гиперболой, одной параболой или одной окружностью. Следовательно, оно попадает в категорию «не относятся ни к одному из перечисленных видов».