ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 370: Уравнения с двумя переменными и их системы

Для определения типа графика уравнения (2x+y)²/4-(x-0,5y)²=24 необходимо привести его к каноническому виду. План действий: сначала упростим левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, а затем проанализируем полученное выражение.

Рассмотрим первое слагаемое: (2x+y)²/4. Раскроем квадрат суммы в числителе: (2x+y)²=4x²+4xy+y². Делим на 4: 4x²+4xy+y²/4=x²+xy+y²/4 Теперь рассмотрим второе слагаемое: (x-0,5y)². Заметим, что 0,5=1/2, поэтому это можно записать как (x-y/2)². Раскрываем квадрат разности: (x-y/2)²=x²-2·x·y/2+y²/4=x²-xy+y²/4 Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение: (x²+xy+y²/4)-(x²-xy+y²/4)=24 Выполним вычитание почленно: x²-x²+xy-(-xy)+y²/4-y²/4=24 2xy=24 Разделим обе части на 2: xy=12

Полученное уравнение xy=12 является уравнением гиперболы. В общем виде уравнение вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 задает коническое сечение. Для нашего случая после упрощения мы имеем член xy, который при повороте осей координат приводит к каноническому уравнению гиперболы x′²/a²-y′²/b²=1. Также можно вспомнить, что график функции обратной пропорциональности y=k/x (где k≠0) — это гипербола. Наше уравнение y=12/x полностью соответствует этому определению. Проверка вариантов ответа: 1. Окружность требует равенства коэффициентов при x² и y² и отсутствия смешанного произведения xy. 3. Парабола имеет только одну переменную во второй степени. 4. Пара прямых получается, если правая часть равна нулю (xy=0), но здесь правая часть равна 12. Следовательно, правильный тип графика — гипербола.