ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 385: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решить систему уравнений графически и аналитически
а) x2+y2=16, x-y=4
б) y=x2+1, x+2y=5.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения систем уравнений мы будем использовать два метода: графический (для визуализации и проверки) и аналитический (метод подстановки для точного нахождения координат).
а) Система: {x2+y2=16x-y=4
Графическое решение:
- Первое уравнение x2+y2=16 описывает окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=16=4.
- Второе уравнение x-y=4 можно переписать как y=x-4. Это прямая линия. Построим её по двум точкам: при x=0, y=-4; при y=0, x=4.
- На чертеже видно, что прямая пересекает окружность в двух точках: (0;-4) и (4;0).
Аналитическое решение:
- Выразим одну переменную из линейного уравнения. Из x-y=4 получаем x=y+4.
- Подставим это выражение в первое уравнение: (y+4)2+y2=16
- Раскроем скобки и упростим: y2+8y+16+y2=16 2y2+8y=0
- Разделим на 2 и вынесем общий множитель: y2+4y=0 y(y+4)=0 Отсюда корни: y1=0 или y2=-4.
- Найдём соответствующие значения x по формуле x=y+4:
Если y1=0, то x1=0+4=4. Получаем точку (4;0).
Если y2=-4, то x2=-4+4=0. Получаем точку (0;-4).
б) Система: {y=x2+1x+2y=5
Графическое решение:
- Первое уравнение y=x2+1 — это парабола, ветви направлены вверх, вершина находится в точке (0;1).
- Второе уравнение x+2y=5 преобразуем к виду 2y=5-x⇒y=2,5-0,5x. Это прямая линия. Точки пересечения с осями: (0;2,5) и (5;0).
- Графически прямая пересекает параболу в двух точках. Приближённо эти точки лежат около x=1 и x=-1,5.
Аналитическое решение:
- Так как y уже выражено через x в первом уравнении (y=x2+1), подставим это во второе уравнение: x+2(x2+1)=5
- Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: x+2x2+2=5 2x2+x-3=0
- Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: D=b2-4ac=12-4·2·(-3)=1+24=25 Корни: x1,2=-b±D/2a=-1±5/4 x1=-1+5/4=4/4=1 x2=-1-5/4=-6/4=-1,5 (или -11/2)
- Найдём соответствующие значения y по формуле y=x2+1:
Если x1=1, то y1=12+1=2. Получаем точку (1;2).
Если x2=-1,5, то y2=(-1,5)2+1=2,25+1=3,25 (или 31/4). Получаем точку (-1,5;3,25).
Проверка:
Подставим найденные пары чисел в исходные системы, чтобы убедиться в правильности ответа.
| Пункт | Точка | Проверка первого уравнения | Проверка второго уравнения |
|---|---|---|---|
| а) | (4; 0) | 42+02=16 (верно) | 4-0=4 (верно) |
| (0; -4) | 02+(-4)2=16 (верно) | 0-(-4)=4 (верно) | |
| б) | (1; 2) | 2=12+1 (верно) | 1+2(2)=5 (верно) |
| (-1,5; 3,25) | 3,25=(-1,5)2+1=2,25+1 (верно) | -1,5+2(3,25)=-1,5+6,5=5 (верно) |
а) (0; -4), (4; 0)
б) (1; 2), (-1,5; 3,25)
В пункте б) ключ учебника использует смешанные дроби (-1½; 3¼), что эквивалентно десятичным дробям (-1,5; 3,25). В решении использованы оба формата для ясности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 385 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 385?
Краткий ответ: а) (0; -4), (4; 0) б) (1; 2), (-1,5; 3,25).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.