9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 392: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 391 393 →

Условие

Решить систему уравнений, используя способ сложения

а) x²-2y²=14, x²+2y²=18

б) x²+y²=61, x²-y²=11

в) xy+x=56, xy+y=54.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения данных систем уравнений мы будем использовать метод сложения (или вычитания), который позволяет исключить одну из переменных или упростить систему до линейного уравнения относительно квадратов переменных.

а) Система: {x²-2y²=14x²+2y²=18

Сложим первое и второе уравнения. Члены с y² взаимно уничтожаются:

(x²-2y²)+(x²+2y²)=14+18 2x²=32 x²=16impliesx=±4

Теперь подставим найденные значения x² в любое из исходных уравнений, например, во второе:

16+2y²=18 2y²=2 y²=1impliesy=±1

Так как знаки x и y независимы друг от друга при возведении в квадрат, получаем четыре пары решений:

(-4;-1)
(-4;1)
(4;-1)
(4;1)

б) Система: {x²+y²=61x²-y²=11

Сложим уравнения, чтобы исключить y²:

(x²+y²)+(x²-y²)=61+11 2x²=72 x²=36impliesx=±6

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить x²:

(x²+y²)-(x²-y²)=61-11 2y²=50 y²=25impliesy=±5

Аналогично пункту а), комбинируем все возможные знаки:

(-6;-5)
(-6;5)
(6;-5)
(6;5)

в) Система: {xy+x=56xy+y=54

Здесь метод сложения применяется иначе. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить произведение xy:

(xy+x)-(xy+y)=56-54 x-y=2impliesx=y+2

Подставим выражение для x в первое уравнение системы:

(y+2)y+(y+2)=56 y²+2y+y+2=56 y²+3y+2-56=0 y²+3y-54=0

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна -3, а произведение -54. Корни: y₁=6, y₂=-9.

Найдем соответствующие значения x по формуле x=y+2:

Если y₁=6, то x₁=6+2=8. Пара (8;6).
Если y₂=-9, то x₂=-9+2=-7. Пара (-7;-9).

Проверка для пары (8;6): 8·6+8=48+8=56 (верно), 8·6+6=48+6=54 (верно).

Ответ

а) (-4; -1), (-4; 1), (4; -1), (4; 1)

б) (-6; -5), (-6; 5), (6; -5), (6; 5)

в) (-7; -9), (8; 6)

В пункте в) важно показать переход к линейному соотношению между переменными через вычитание уравнений, так как прямое сложение не дает очевидного результата. В пунктах а) и б) акцент на том, что знаки переменных выбираются независимо.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 392 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 392?

Краткий ответ: а) (-4; -1), (-4; 1), (4; -1), (4; 1) б) (-6; -5), (-6; 5), (6; -5), (6; 5) в) (-7; -9), (8; 6).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.