ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 396: Уравнения с двумя переменными и их системы

План решения:

1. Проанализировать геометрический смысл каждого уравнения системы, чтобы понять форму их графиков.
2. Решить систему алгебраически методом подстановки, сведя её к квадратному уравнению относительно одной переменной.
3. Найти все пары (x;y), удовлетворяющие системе, и проверить количество решений (должно быть четыре).

Вычисление:

1. Рассмотрим первое уравнение x²+y²=25. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=25=5.

2. Рассмотрим второе уравнение y=x²-6. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0;-6).

3. Для нахождения точек пересечения выразим x² из второго уравнения: x²=y+6.

4. Подставим это выражение в первое уравнение вместо x²: (y+6)+y²=25. Упростим полученное уравнение: y²+y+6-25=0, y²+y-19=0. Однако, давайте проверим условие задачи на наличие опечаток или стандартных чисел. Часто в таких задачах числа подбираются так, чтобы дискриминант был полным квадратом. Перечитаем условие внимательно: x²+y²=25, y=x²-6. Да, всё верно. Решим квадратное уравнение y²+y-19=0. Дискриминант D=b²-4ac=1²-4·1·(-19)=1+76=77. Корни: y_1,2=-1±77/2. Так как 77≈8.77, то: y₁=-1+8.77/2≈3.88. y₂=-1-8.77/2≈-4.88. Оба значения y лежат в диапазоне [-5;5], допустимом для окружности радиуса 5. Значит, оба корня подходят. Теперь найдем соответствующие значения x из соотношения x²=y+6. Для y₁=-1+77/2: x²=-1+77/2+6=-1+77+12/2=11+77/2. Так как 11+77/2>0, то существуют два действительных корня: x_1,2=±11+77/2. Это дает две точки пересечения: (11+77/2;-1+77/2) и (-11+77/2;-1+77/2). Для y₂=-1-77/2: x²=-1-77/2+6=-1-77+12/2=11-77/2. Так как 77<121=11, то 11-77>0, значит x²>0. Существуют два действительных корня: x_3,4=±11-77/2. Это дает еще две точки пересечения: (11-77/2;-1-77/2) и (-11-77/2;-1-77/2). Итого мы получили 4 различных пары (x;y), что подтверждает наличие четырех решений.

Проверка:

Графически окружность радиуса 5 пересекает параболу y=x²-6 в четырёх точках, так как вершина параболы (0;-6) лежит ниже нижней точки окружности (0;-5)? Нет, подождите. Вершина параболы (0;-6). Нижняя точка окружности (0;-5). Парабола начинается ниже окружности и растет вверх. В точке x=0 парабола y=-6, окружность y=-5. При увеличении |x| парабола растет быстрее? Проверим пересечение по оси X (y=0). Окружность: x=±5. Парабола: 0=x²-6⇒x=±6≈±2.45. Так как 6<5, парабола входит внутрь окружности по оси абсцисс. А при x=0 она снаружи (ниже). Значит, она должна пересечь нижнюю часть окружности дважды. Затем, продолжая расти, она выйдет за пределы верхней части окружности? Верхняя точка окружности (0;5). Парабола проходит через (0;-6). Чтобы выйти наружу сверху, нужно чтобы при каком-то x значение y параболы стало больше y окружности. Но мы нашли алгебраические корни. Алгебраическое решение надежнее интуитивной проверки «на глаз», если числа не целые. Мы нашли 4 реальных корня, значит 4 решения есть.