9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 397: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 396 398 →

Условие

Решить графически систему уравнений {x² + y²=100, y=0.5x²-10}.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Определим геометрический смысл каждого уравнения системы.
Первое уравнение x²+y²=100 описывает окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=100=10.
Второе уравнение y=0.5x²-10 описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0;-10).
Найдём точки пересечения этих графиков алгебраическим методом (подстановка), так как графическое решение требует точного построения, а вычисление даёт точные координаты.

Вычисление:

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

x²+(0.5x²-10)²=100

Раскроем скобки по формуле квадрата разности (a-b)²=a²-2ab+b², где a=0.5x² и b=10:

x²+(0.25x⁴-2·0.5x²·10+100)=100 x²+0.25x⁴-10x²+100=100

Упростим уравнение, перенеся все члены в левую часть и сократив 100:

0.25x⁴-9x²=0

Вынесем общий множитель x² за скобки:

x²(0.25x²-9)=0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x²=0⇒x₁=0.
0.25x²-9=0⇒0.25x²=9⇒x²=36⇒x_2,3=±6.

Теперь найдём соответствующие значения y, используя уравнение параболы y=0.5x²-10:

При x₁=0: y₁=0.5(0)²-10=-10. Точка: (0;-10).
При x₂=6: y₂=0.5(6)²-10=0.5(36)-10=18-10=8. Точка: (6;8).
При x₃=-6: y₃=0.5(-6)²-10=0.5(36)-10=18-10=8. Точка: (-6;8).

Проверка:

Подставим найденные точки в уравнение окружности x²+y²=100:

Для (0;-10): 0²+(-10)²=0+100=100. Верно.
Для (6;8): 6²+8²=36+64=100. Верно.
Для (-6;8): (-6)²+8²=36+64=100. Верно.

Графически это означает, что парабола касается нижней точки окружности в вершине и пересекает её в двух симметричных точках выше оси абсцисс.

Ответ

Ответ: (0; -10), (6; 8), (-6; 8).

Система решается методом подстановки. Важно отметить, что точка (0; -10) является общей для вершины параболы и нижней точки окружности. Остальные две точки получаются из квадратного уравнения относительно x^2.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 397 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 397?

Краткий ответ: Ответ: (0; -10), (6; 8), (-6; 8).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.