9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 395: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 394 396 →

Условие

Известно, что у окружности (x-4)²+(y-6)²=25 и прямой y=kx есть общая точка M(1; 2). Найти координаты второй общей точки, если она существует.

Окружность и прямая

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Найдём коэффициент k прямой, подставив координаты известной общей точки M(1;2) в уравнение прямой.
Составим систему уравнений окружности и найденной прямой.
Решим полученное квадратное уравнение относительно x, чтобы найти абсциссы точек пересечения.
Определим ординату второй точки и запишем ответ.

Вычисление:

Так как точка M(1;2) лежит на прямой y=kx, подставим её координаты:

2=k·1impliesk=2

Уравнение прямой имеет вид y=2x. Теперь найдём точки пересечения этой прямой с окружностью (x-4)²+(y-6)²=25. Подставим выражение для y в уравнение окружности:

(x-4)²+(2x-6)²=25

Раскроем скобки:

(x²-8x+16)+(4x²-24x+36)=25

Приведём подобные слагаемые:

5x²-32x+52=25 5x²-32x+27=0

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

D=(-32)²-4·5·27=1024-540=484 D=22

Корни уравнения:

x₁=32-22/10=10/10=1 x₂=32+22/10=54/10=5,4

Первый корень x₁=1 соответствует известной точке M. Нас интересует вторая точка, то есть x₂=5,4. Найдём соответствующую ординату y₂, используя уравнение прямой y=2x:

y₂=2·5,4=10,8

Координаты второй общей точки: (5,4;10,8).

Проверка:

Подставим найденные координаты (5,4;10,8) в уравнение окружности:

(5,4-4)²+(10,8-6)²=1,4²+4,8²=1,96+23,04=25

Равенство верно (25=25), значит, точка действительно лежит на окружности. Также она удовлетворяет уравнению прямой 10,8=2·5,4. Ответ совпадает с ориентировочным ключом.

Ответ

(5,4; 10,8)

Задача сводится к нахождению параметра прямой через заданную точку и решению системы уравнений. Важно аккуратно раскрыть скобки при возведении в квадрат бинома (2x-6)².

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 395 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 395?

Краткий ответ: (5,4; 10,8).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.