ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 398: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Работа в парах. Решить графически системы
а) {xy=6, 2x-3y=6}
б) {(x-3)2 + (y-4)2=4, y-x2=0}. Дополнительно: обсудить множества точек, распределить задания между партнерами и проверить друг друга.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для графического решения систем уравнений с двумя переменными необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Эти точки являются решениями системы.
а) Система: {xy=62x-3y=6
1. Рассмотрим первое уравнение xy=6. Это уравнение гиперболы. Выразим y: y=6/x. Построим несколько точек для ветвей гиперболы (например, (1;6),(2;3),(3;2),(-1;-6)).
2. Рассмотрим второе уравнение 2x-3y=6. Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Выразим y: 3y=2x-6⇒y=2/3x-2. Найдем две точки для построения прямой: при x=0, y=-2; при y=0, 2x=6⇒x=3. Точки (0;-2) и (3;0).
3. Ищем пересечение. Подставим выражение из первого уравнения во второе или решим алгебраически для проверки точности графика: x(2/3x-2)=6 2/3x2-2x-6=0 Умножим на 3/2: x2-3x-9=0 Дискриминант D=(-3)2-4·1·(-9)=9+36=45. Корни: x1,2=3±45/2=3±35/2. Это иррациональные числа, что затрудняет точное чтение по графику, но позволяет определить количество решений. Так как дискриминант положителен, прямая пересекает гиперболу в двух точках.
Ответ а): Два решения (точки пересечения гиперболы и прямой). Координаты приближенно: x1≈4.85,y1≈1.23; x2≈-1.85,y2≈-3.23.
б) Система: {(x-3)2+(y-4)2=4y-x2=0
1. Первое уравнение (x-3)2+(y-4)2=4 описывает окружность с центром в точке C(3;4) и радиусом R=4=2.
2. Второе уравнение y-x2=0 или y=x2 — это парабола с вершиной в начале координат (0;0), ветви направлены вверх.
3. Анализ взаимного расположения:
- Центр окружности (3;4). Нижняя точка окружности имеет координату y=4-2=2 (при x=3).
- Верхняя точка окружности имеет координату y=4+2=6 (при x=3).
- Проверим положение параболы относительно центра окружности. Расстояние от центра (3;4) до ближайшей точки параболы. Минимальное расстояние от точки (3;4) до кривой y=x2 можно оценить. При x=2, y=4 (точка на параболе). Расстояние от (3;4) до (2;4) равно 1. Так как радиус равен 2, точка (2;4) лежит внутри окружности (1<2).
- При x=1, y=1. Расстояние от (3;4) до (1;1): d=(3-1)2+(4-1)2=4+9=13≈3.6>2. Точка снаружи.
- При x=3, y=9. Расстояние от (3;4) до (3;9) равно 5. Точка далеко снаружи.
- Так как одна точка параболы находится внутри окружности, а другие части параболы уходят наружу, парабола должна пересечь границу окружности. Поскольку парабола непрерывна и уходит в бесконечность, она может пересекать окружность в нескольких точках.
Решим систему алгебраически для уточнения количества корней: Подставим y=x2 в уравнение окружности: (x-3)2+(x2-4)2=4 x2-6x+9+x4-8x2+16=4 x4-7x2-6x+21=0 Это биквадратное уравнение не совсем, есть член -6x. Попробуем подобрать целые корни делители свободного члена 21: ±1,±3,±7,±21. x=1:1-7-6+21=9≠0 x=-1:1-7+6+21=21≠0 x=3:81-63-18+21=21≠0 x=-3:81-63+18+21=57≠0 Целых корней нет. Однако, зная поведение функций, мы можем утверждать наличие пересечений. Графически видно, что левая ветвь параболы проходит через внутреннюю часть окружности (так как при x=2,y=4 внутри, а при x=1,y=1 снаружи? Нет, проверим x=1 еще раз. Точка (1;1). Центр (3;4). d2=(1-3)2+(1-4)2=4+9=13>4. Значит (1;1) снаружи. Точка (2;4) внутри. Значит между x=1 и x=2 есть пересечение. Аналогично справа: при x=3 парабола y=9 (снаружи, т.к. верхняя граница окружности y=6). При x=2 внутри. Значит между x=2 и x=3 есть пересечение. Также нужно проверить левую ветвь при отрицательных x. При x=0,y=0. Расстояние от (3;4) до (0;0) равно 5 (снаружи). При x=2 внутри. Значит между x=0 и x=2 два пересечения? Нет, функция выпуклая вниз. Давайте посмотрим на график внимательнее. Окружность ограничена x∈[1;5] и y∈[2;6]. Парабола y=x2. В диапазоне x∈[1;5]: При x=1,y=1 (ниже окружности, т.к. мин y окружности 2). При x=2≈1.41,y=2. Точка (1.41;2). Проверим принадлежность окружности: (1.41-3)2+(2-4)2=(-1.59)2+4≈2.5+4=6.5>4. Снаружи. При x=2,y=4. Точка (2;4). Внутри окружности ((2-3)2+(4-4)2=1<4). Значит, одно пересечение между x=1.41 и x=2. При x=3,y=9. Сверху над окружностью. Значит, второе пересечение между x=2 и x=3. Есть ли пересечения слева от x=1? Для x<1, y<1. Окружность начинается с y=2. Парабола ниже окружности и удаляется от нее. Пересечений нет. Итак, система имеет два решения.
Ответ б): Два решения (точки пересечения параболы и окружности).
а) Два решения (пересечение гиперболы и прямой)
б) Два решения (пересечение параболы и окружности)
Задача требует графического метода. В пункте а) получается квадратное уравнение с иррациональными корнями, поэтому точные координаты указать сложно, важно показать факт наличия двух пересечений. В пункте б) анализ взаимного расположения фигур показывает, что парабола входит в область окружности и выходит из нее, образуя две точки пересечения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 398 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 398?
Краткий ответ: а) Два решения (пересечение гиперболы и прямой) б) Два решения (пересечение параболы и окружности).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.