ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 402: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Пересекаются ли графики уравнений x-y=-7 и x2+y2=36? Найти ответ графическим способом, а затем аналитическим.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Сначала определим взаимное расположение графиков графически: построим прямую и окружность.
- Затем решим систему уравнений аналитическим способом (подстановкой), чтобы найти координаты точек пересечения или доказать их отсутствие.
Графический способ:
Рассмотрим первое уравнение x-y=-7. Выразим y: y=x+7. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Она пересекает ось OY в точке (0;7) и ось OX в точке (-7;0).
Второе уравнение x2+y2=36 описывает окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=36=6.
Если мы представим эти графики на координатной плоскости, то увидим, что прямая проходит достаточно далеко от начала координат. Точка (0;7) лежит выше верхней точки окружности (0;6), а точка (-7;0) — левее левой точки окружности (-6;0). Визуально кажется, что они не пересекаются, но для точного ответа обратимся к алгебре.
Аналитический способ:
Решим систему уравнений методом подстановки:
{nx-y=-7x2+y2=36Из первого уравнения выразим y: y=x+7.
Подставим это выражение во второе уравнение:
x2+(x+7)2=36Раскроем скобки по формуле квадрата суммы (a+b)2=a2+2ab+b2:
x2+(x2+14x+49)=36 2x2+14x+49-36=0 2x2+14x+13=0Чтобы определить, есть ли у этого квадратного уравнения корни, вычислим дискриминант D=b2-4ac, где a=2, b=14, c=13:
D=142-4·2·13=196-104=92Так как D>0, уравнение имеет два различных корня. Следовательно, система имеет два решения, и графики пересекаются .
Найдем значения x:
x1,2=-14±92/4=-14±223/4=-7±23/2Приблизительные значения: 23≈4.8. Тогда x1≈-7+4.8/2=-1.1, x2≈-7-4.8/2=-5.9.
Найдем соответствующие y (y=x+7):
y1≈-1.1+7=5.9 y2≈-5.9+7=1.1
Точки пересечения примерно (-1.1;5.9) и (-5.9;1.1). Обе точки лежат на окружности (так как сумма квадратов координат близка к 36) и на прямой.
Проверка:
Мы нашли, что дискриминант положителен, значит, пересечение существует. Графическое предположение было ошибочным из-за неточности визуальной оценки расстояния от центра до прямой. Расстояние от центра (0;0) до прямой x-y+7=0 равно d=|7|/12+(-1)2=7/2≈4.95. Так как d<R (4.95<6), прямая действительно пересекает окружность в двух точках.
Да, графики пересекаются.
Ключа не было дано. Решение подтверждает пересечение через положительный дискриминант системы уравнений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 402 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 402?
Краткий ответ: Да, графики пересекаются.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.