ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 404: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Пересекаются ли окружность x2+y2=9 и гипербола xy=-3? Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Чтобы найти точки пересечения двух кривых, нужно решить систему уравнений, составленную из их уравнений.
- Система: {x2+y2=9xy=-3
- Используем метод подстановки или алгебраические преобразования для нахождения значений x и y. Так как система симметрична относительно x и y, удобно выразить сумму квадратов через произведение и квадрат суммы/разности.
Вычисление:
- Из второго уравнения системы имеем xy=-3.
- Рассмотрим выражение (x+y)2. Раскроем скобки: (x+y)2=x2+2xy+y2
- Подставим известные значения из первого уравнения (x2+y2=9) и второго (xy=-3): (x+y)2=9+2(-3)=9-6=3
- Отсюда получаем два возможных случая для суммы переменных: x+y=3 или x+y=-3
- Теперь решим каждую из полученных систем отдельно. Нам известна сумма S=x+y и произведение P=xy=-3. Числа x и y являются корнями квадратного уравнения вида t2-St+P=0.
- Случай 1: x+y=3, xy=-3. Уравнение: t2-3t-3=0 Дискриминант: D1=(-3)2-4(1)(-3)=3+12=15>0 Так как дискриминант положителен, есть два различных действительных корня: t1,2=3±15/2 Это даёт две пары решений (x;y): (3+15/2;3-15/2) и (3-15/2;3+15/2).
- Случай 2: x+y=-3, xy=-3. Уравнение: t2+3t-3=0 Дискриминант: D2=(3)2-4(1)(-3)=3+12=15>0 Есть два различных действительных корня: t3,4=-3±15/2 Это даёт ещё две пары решений (x;y): (-3+15/2;-3-15/2) и (-3-15/2;-3+15/2).
Проверка и вывод:
Мы нашли четыре различные пары чисел (x;y), удовлетворяющие системе. Все они являются действительными числами, так как дискриминанты положительны. Следовательно, окружность и гипербола пересекаются в четырёх точках.
Пересекаются.
Общих точек: 4.
Задача сводится к решению нелинейной системы уравнений. Ключевой момент — использование тождества (x+y)2=x2+y2+2xy для перехода к квадратному уравнению относительно суммы переменных. Важно проверить знак дискриминанта, чтобы убедиться в наличии действительных корней.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 404 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 404?
Краткий ответ: Пересекаются. Общих точек: 4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.