ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 405: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Сколько общих точек имеют окружность и прямая
а) x2+y2=9, y=2x+3
б) x2+y2=7, y-4x=2
в) x2+y2=5, y+4x=-5?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы определить количество общих точек окружности и прямой, нужно решить систему уравнений. Подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности. Полученное квадратное уравнение относительно x покажет число решений: если дискриминант D>0, то две точки; если D=0, то одна точка (касание); если D<0, то точек нет.
а) Система: {x2+y2=9y=2x+3
Подставим y: x2+(2x+3)2=9 Раскроем скобки: x2+4x2+12x+9=9 Приведем подобные слагаемые: 5x2+12x=0 Вынесем x за скобки: x(5x+12)=0 Корни: x1=0, x2=-2.4. Так как есть два различных корня, прямая пересекает окружность в двух точках.
б) Система: {x2+y2=7y-4x=2⇒y=4x+2
Подставим y: x2+(4x+2)2=7 Раскроем скобки: x2+16x2+16x+4=7 Приведем к стандартному виду: 17x2+16x-3=0 Найдем дискриминант: D=162-4·17·(-3)=256+204=460 Так как D=460>0, уравнение имеет два различных корня, значит, у окружности и прямой две общие точки.
в) Система: {x2+y2=5y+4x=-5⇒y=-4x-5
Подставим y: x2+(-4x-5)2=5 Раскроем скобки (помня, что (-a-b)2=(a+b)2): x2+(4x+5)2=5 x2+16x2+40x+25=5 Приведем к стандартному виду: 17x2+40x+20=0 Найдем дискриминант: D=402-4·17·20=1600-1360=240 Так как D=240>0, уравнение имеет два различных корня, следовательно, две общие точки.
Ответ:
- а) Две общие точки.
- б) Две общие точки.
- в) Две общие точки.
а) Две
б) Две
в) Две
В каждом пункте решается система уравнений методом подстановки. Для пункта а) получается неполное квадратное уравнение с двумя корнями. Для пунктов б) и в) получаются полные квадратные уравнения с положительными дискриминантами (D=460 и D=240 соответственно), что подтверждает наличие двух общих точек.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 405 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 405?
Краткий ответ: а) Две б) Две в) Две.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.