ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 410: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что при a>-1 выражение (\frac{(a+1)}{(a-1)}-\frac{(a-1)}{(a+1)}):(\frac{4a}{(5a-5)}) принимает положительные значения при всех допустимых значениях a.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной a, чтобы все выражения в условии имели смысл.
- Упростим данное алгебраическое выражение, выполнив действия с дробями по порядку: сначала вычитание в скобках, затем деление.
- Проанализируем знак полученного упрощённого выражения при условии a>-1 и на ОДЗ.
Вычисление:
- Определение ОДЗ.
В исходном выражении есть знаменатели: a-1, a+1 и 4a. Также делитель (5a-5) не должен быть равен нулю.
1) a-1≠0⇒a≠1
2) a+1≠0⇒a≠-1
3) 4a≠0⇒a≠0
4) 5a-5≠0⇒5(a-1)≠0⇒a≠1 (уже учтено).
Итак, ОДЗ: a∈(-∞;-1)∪(-1;0)∪(0;1)∪(1;+∞).
По условию задачи рассматриваем только те значения из ОДЗ, для которых выполняется неравенство a>-1. То есть мы работаем на множестве a∈(-1;0)∪(0;1)∪(1;+∞). - Упрощение выражения.
Рассмотрим разность в скобках: a+1/a-1-a-1/a+1 Приведём к общему знаменателю (a-1)(a+1)=a2-1: (a+1)2-(a-1)2/(a-1)(a+1) Раскроем квадраты в числителе: (a+1)2-(a-1)2=(a2+2a+1)-(a2-2a+1)=a2+2a+1-a2+2a-1=4a Таким образом, значение в скобках равно: 4a/a2-1 Теперь выполним деление на вторую часть выражения 4a/5a-5: 4a/a2-1:4a/5a-5=4a/a2-1·5a-5/4a Сократим на 4a (так как a≠0 на ОДЗ): 1/a2-1·(5a-5)=5(a-1)/(a-1)(a+1) Сократим на (a-1) (так как a≠1 на ОДЗ): 5/a+1 Итак, всё исходное сложное выражение тождественно равно 5/a+1 при всех допустимых значениях a. - Анализ знака.
Нам нужно доказать, что выражение принимает положительные значения при a>-1 и a∈ОДЗ.
Рассмотрим результат упрощения: 5/a+1.
Числитель 5 — положительное число (5>0).
Знаменатель a+1. По условию задачи a>-1, следовательно, a+1>0.
Дробь, у которой числитель положителен и знаменатель положителен, всегда положительна.
То есть 5/a+1>0.
Проверка:
Возьмём контрольное значение a=2 (оно больше -1 и входит в ОДЗ).
| Этап | Подстановка a=2 | Результат |
|---|---|---|
| Исходная дробь 1 | 2+1/2-1=3/1=3 | 3 |
| Исходная дробь 2 | 2-1/2+1=1/3 | 1/3 |
| Разность | 3-1/3=8/3 | 8/3 |
| Делитель | 4·2/5·2-5=8/5 | 8/5 |
| Итог деления | 8/3:8/5=8/3·5/8=5/3 | 5/3>0 |
| Формула ответа | 5/2+1=5/3 | 5/3>0 |
Результаты совпадают, значение положительное. Доказательство верно.
а) Упрощённое выражение равно 5/a+1.
б) При a>-1 знаменатель a+1>0, числитель 5>0.
в) Следовательно, значение выражения положительно.
Задача требует аккуратной работы с областью определения. Важно заметить, что после сокращения дроби 5(a-1)/(a-1)(a+1) мы получаем 5/a+1, но это верно только при a≠1. Так как в условии дано a>-1, нам нужно проверить знаки на интервалах (-1;1) и (1;+∞), исключая точки 0 и 1. Однако анализ знака итоговой дроби 5/a+1 показывает, что она положительна для любого a>-1 (кроме тех точек, где исходное выражение не определено). Поскольку вопрос стоит о 'допустимых значениях', мы исключаем точки разрыва, а на оставшейся области знак постоянен и положителен.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 410 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 410?
Краткий ответ: а) Упрощённое выражение равно 5a+1. б) При a > -1 знаменатель a+1 > 0, числитель 5 > 0. в) Следовательно, значение выражения положительно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.