ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 414: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Ольга Кузнецова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дано одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными: 3x-2y=1. Нужно подобрать второе уравнение так, чтобы система
а) имела единственное решение
б) не имела решений
в) имела бесчисленное множество решений.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним условия существования решений системы двух линейных уравнений вида a1x+b1y=c1 и a2x+b2y=c2. Первое уравнение у нас задано: 3x-2y=1. Здесь коэффициенты при переменных равны a1=3, b1=-2, а свободный член c1=1.
а) Система имеет единственное решение , если прямые пересекаются. Это происходит, когда коэффициенты при переменных не пропорциональны, то есть a1/a2≠b1/b2. Нам нужно подобрать любые числа a2 и b2 так, чтобы это неравенство выполнялось. Например, возьмем простое уравнение x+y=5. Проверим условие: 3/1≠-2/1 (так как 3≠-2). Условие выполнено, значит, система будет иметь единственное решение.
б) Система не имеет решений , если прямые параллельны и не совпадают. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты при переменных были пропорциональны (a1/a2=b1/b2), но свободные члены не удовлетворяли этой же пропорции (a1/a2≠c1/c2). Возьмем второе уравнение 6x-4y=10. Коэффициенты при x и y в два раза больше, чем в первом уравнении (3/6=-2/-4=1/2), однако свободные члены не относятся друг к другу как 1:2 (1/10≠1/2). Следовательно, решений нет.
в) Система имеет бесчисленное множество решений , если прямые совпадают. Это возможно, когда все коэффициенты и свободные члены пропорциональны: a1/a2=b1/b2=c1/c2. Умножим первое уравнение на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получаем уравнение 6x-4y=2. Здесь 3/6=-2/-4=1/2. Все отношения равны, значит, уравнения равносильны, и система имеет бесконечно много решений.
а) x+y=5
б) 6x-4y=10
в) 6x-4y=2
В задаче требуется подобрать второе уравнение. Ответы не уникальны, приведены наиболее простые примеры. В пункте б) важно показать нарушение пропорциональности свободного члена. В пункте в) достаточно умножить исходное уравнение на константу.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 414 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 414?
Краткий ответ: а) x + y = 5 б) 6x - 4y = 10 в) 6x - 4y = 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.