ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 416: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В системе уравнений 4x-5y=8 и kx+15y=m подберите коэффициенты k и m так, чтобы система
а) не имела решений
б) имела бесчисленное множество решений
в) имела единственное решение.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для анализа количества решений системы линейных уравнений с двумя переменными воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Система имеет вид:
{4x-5y=8kx+15y=mПлан решения:
- Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают (отношения коэффициентов при x и y равны, а отношение свободных членов отличается).
- Система имеет бесчисленное множество решений, если прямые совпадают (все отношения коэффициентов и свободных членов равны).
- Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются (отношения коэффициентов при x и y не равны).
Вычисления для пункта а) — нет решений:
Условие параллельности: 4/k=-5/15.
Решаем пропорцию:
4/k=-1/3impliesk=-12Теперь проверим условие несовпадения прямых: 4/k≠8/m.
Подставим найденное k=-12:
4/-12≠8/mimplies-1/3≠8/mimpliesm≠-24Таким образом, при k=-12 и любом m≠-24 система не имеет решений. В качестве примера возьмем m=1 (как в ориентировочном ответе), так как 1≠-24.
Вычисления для пункта б) — бесчисленное множество решений:
Условие совпадения прямых: 4/k=-5/15=8/m.
Из первой части равенства уже нашли k=-12. Теперь найдем m из второй части:
-5/15=8/mimplies-1/3=8/mimpliesm=-24Итак, при k=-12 и m=-24 система имеет бесчисленное множество решений.
Вычисления для пункта в) — единственное решение:
Условие пересечения прямых: 4/k≠-5/15.
Это неравенство выполняется при любом k, кроме того значения, которое делает дроби равными. Мы знаем, что равенство достигается при k=-12.
Значит, любое k≠-12 обеспечит единственное решение независимо от m. Для простоты выберем k=1 и m=1.
Проверка:
- а) При k=-12,m=1: 4/-12=-1/3, -5/15=-1/3, 8/1=8. Отношения при переменных равны, но не равны отношению свободных членов (-1/3≠8). Решений нет.
- б) При k=-12,m=-24: 4/-12=-1/3, -5/15=-1/3, 8/-24=-1/3. Все отношения равны. Бесконечно много решений.
- в) При k=1,m=1: 4/1=4, -5/15=-1/3. 4≠-1/3. Единственное решение.
а) k=-12, m≠-24 (например, m=1)
б) k=-12, m=-24
в) k≠-12 (например, k=1, m=1)
В пункте а) ключ предлагает конкретное значение m=1, но математически верно любое m, кроме -24. В пункте в) ключ предлагает k=m=1, но верно любое k != -12. Решение показывает общие условия и приводит примеры, соответствующие ключу.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 416 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 416?
Краткий ответ: а) k = -12, m ≠ -24 (например, m = 1) б) k = -12, m = -24 в) k ≠ -12 (например, k = 1, m = 1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.