ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 412: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько
а) {2x + 3y=4, 3x+2y=2}
б) {2x + 3y=4, 4x+6y=2}
в) {3x - 6y=2, -x+2y=-1}
г) {2x=5, 3x+2y=2}
д) {3y=4, 4x+6y=1}
е) {3x + 5y=-6, 9x+15y=-18}.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для определения количества решений системы линейных уравнений с двумя переменными без их непосредственного решения, необходимо сравнить коэффициенты при переменных и свободные члены. Рассмотрим общий вид системы:
{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2Существуют три случая:
- Одно решение , если прямые пересекаются: a1/a2≠b1/b2.
- Нет решений , если прямые параллельны: a1/a2=b1/b2≠c1/c2.
- Бесконечно много решений , если прямые совпадают: a1/a2=b1/b2=c1/c2.
а) Система: {2x+3y=43x+2y=2
Сравним коэффициенты при x и y: 2/3 и 3/2. Так как 2/3≠3/2, то прямые имеют разные угловые коэффициенты и обязательно пересекутся в одной точке.
Ответ: система имеет одно решение.
б) Система: {2x+3y=44x+6y=2
Проверим отношение коэффициентов при переменных: 2/4=1/2 и 3/6=1/2. Отношения равны, значит, прямые параллельны или совпадают.
Теперь проверим отношение свободных членов: 4/2=2. Поскольку 1/2≠2, то есть a1/a2=b1/b2≠c1/c2, прямые параллельны и не имеют общих точек.
Ответ: система не имеет решений.
в) Система: {3x-6y=2-x+2y=-1
Найдем отношения коэффициентов: 3/-1=-3 и -6/2=-3. Коэффициенты пропорциональны.
Проверим свободные члены: 2/-1=-2. Сравниваем: -3≠-2. Условие a1/a2=b1/b2≠c1/c2 выполнено, следовательно, прямые параллельны.
Ответ: система не имеет решений.
г) Система: {2x=53x+2y=2
Первое уравнение можно записать как 2x+0y=5. Второе: 3x+2y=2.
Сравним коэффициенты при x и y: 2/3 и 0/2=0. Так как 2/3≠0, условия для параллельности не выполняются. Первая прямая вертикальна (x=2.5), вторая наклонна. Они обязательно пересекутся.
Ответ: система имеет одно решение.
д) Система: {3y=44x+6y=1
Запишем первое уравнение в стандартном виде: 0x+3y=4. Второе: 4x+6y=1.
Сравним коэффициенты: 0/4=0 и 3/6=1/2. Поскольку 0≠1/2, прямые не параллельны. Первая горизонтальна (y=4/3), вторая наклонна. Точка пересечения существует и единственна.
Ответ: система имеет одно решение.
е) Система: {3x+5y=-69x+15y=-18
Проверим пропорциональность всех коэффициентов:
3/9=1/3, 5/15=1/3, -6/-18=1/3.
Так как a1/a2=b1/b2=c1/c2, уравнения представляют собой одну и ту же прямую (второе уравнение является первым, умноженным на 3). Любая точка этой прямой является решением.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.
а) Одно решение
б) Нет решений
в) Нет решений
г) Одно решение
д) Одно решение
е) Бесконечно много решений
В пунктах г) и д) важно обратить внимание на нулевые коэффициенты при одной из переменных. В пункте е) ключ указывает на бесконечное множество решений, что подтверждается точным равенством отношений всех коэффициентов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 412 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 412?
Краткий ответ: а) Одно решение б) Нет решений в) Нет решений г) Одно решение д) Одно решение е) Бесконечно много решений.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.