ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 415: Уравнения с двумя переменными и их системы

Для исследования системы линейных уравнений с двумя переменными воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Система имеет вид:

1. Условие единственного решения

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые, заданные уравнениями, не параллельны. Это означает, что отношение коэффициентов при x не равно отношению коэффициентов при y:

Упростим правую часть дроби: 4/8=1/2. Тогда неравенство принимает вид:

Таким образом, система имеет единственное решение при любом значении k, кроме k=2,5. В условии задачи предлагается подобрать число k. Можно выбрать любое значение, отличное от 2,5. Например, если взять k=0, то неравенство 0≠2,5 верно, значит, решение будет единственным.

2. Условия отсутствия решений и бесконечного множества решений

Рассмотрим случаи, когда прямые параллельны или совпадают. Это происходит, когда:

При k=2,5 первое уравнение примет вид 2,5x+4y=6. Умножим его на 2, чтобы привести к целым коэффициентам для удобства сравнения со вторым уравнением (5x+8y=3):

Теперь сравним это преобразованное уравнение со вторым уравнением системы:

Мы видим, что левые части уравнений идентичны (5x+8y), а правые части различны (12≠3). Это противоречие означает, что система не имеет решений .

Для того чтобы система имела бесконечное множество решений , необходимо, чтобы все три отношения были равны:

Проверим последнее равенство: 4/8=0,5, а 6/3=2. Поскольку 0,5≠2, такое значение k найти невозможно. Следовательно, значений k, при которых система имеет бесконечное множество решений, не существует .

Ответы на вопросы задачи:

• Подобрать число k для единственного решения: можно взять любое k≠2,5. Например, k=0.
• Существуют ли значения k, при которых система не имеет решений? Да, при k=2,5.
• Существуют ли значения k, при которых система имеет бесконечное множество решений? Нет.