9 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 440: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 439 441 →

Условие

Из куска олова (356 г) и куска меди (438 г) сделали сплав. Плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди. Объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди. Найти объёмы кусков металлов.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи составим систему уравнений. Обозначим искомые величины:

V₁ — объём куска олова (см³);
V₂ — объём куска меди (см³).

Также введём обозначения для плотностей:

ρ₁ — плотность олова (г/см³);
ρ₂ — плотность меди (г/см³).

Шаг 1. Составление уравнений по условию.

Известно, что масса равна произведению плотности на объём (m=ρ·V). Отсюда выразим плотности через массы и объёмы:

ρ₁=356/V₁, ρ₂=438/V₂

Первое условие: «Плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди». ρ₁-ρ₂=1,6 Подставим выражения для плотностей: 356/V₁-438/V₂=1,6 (1)

Второе условие: «Объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди». V₂-V₁=20impliesV₂=V₁+20 (2)

Шаг 2. Решение системы уравнений.

Подставим выражение V₂ из уравнения (2) в уравнение (1): 356/V₁-438/V₁+20=1,6

Приведём левую часть к общему знаменателю V₁(V₁+20): 356(V₁+20)-438V₁/V₁(V₁+20)=1,6

Раскроем скобки в числителе: 356V₁+7120-438V₁=1,6(V21+20V₁) -82V₁+7120=1,6V21+32V₁

Перенесём все члены в правую часть и приравняем к нулю: 1,6V21+32V₁+82V₁-7120=0 1,6V21+114V₁-7120=0

Умножим всё уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: 16V21+1140V₁-71200=0

Разделим уравнение на 4 для упрощения: 4V21+285V₁-17800=0

Найдём дискриминант квадратного уравнения a=4,b=285,c=-17800: D=b²-4ac=285²-4·4·(-17800) D=81225+16·17800=81225+284800=366025

Вычислим корень из дискриминанта: 366025=605 (Проверка: 600²=360000, последняя цифра 5, 605²=(600+5)²=360000+6000+25=366025).

Найдём корни уравнения: V₁=-b±D/2a=-285±605/8

Рассмотрим два случая:

V₁=-285+605/8=320/8=40
V₁=-285-605/8=-890/8<0 (не подходит, так как объём не может быть отрицательным)

Таким образом, объём олова V₁=40 см³.

Найдём объём меди, используя уравнение (2): V₂=V₁+20=40+20=60 см³

Шаг 3. Проверка ответа.

Вычислим плотности металлов с найденными объёмами:

Плотность олова: ρ₁=356/40=8,9 г/см³.
Плотность меди: ρ₂=438/60=7,3 г/см³.

Проверим разницу плотностей: ρ₁-ρ₂=8,9-7,3=1,6 г/см³ Это совпадает с условием задачи.

Проверим разницу объёмов: V₂-V₁=60-40=20 см³ Это также совпадает с условием.

Ответ

а) Объём олова: 40 см³

б) Объём меди: 60 см³

Задача сводится к решению рационального уравнения, которое после преобразований становится квадратным. Важно аккуратно работать с дробями и знаками при переносе членов. Ключевой момент — проверка положительности корней и соответствие физическому смыслу (объём > 0).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 440 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 440?

Краткий ответ: а) Объём олова: 40 см³ б) Объём меди: 60 см³.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.