ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 441: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
К раствору с 50 г соли добавили 150 г воды. Концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор изначально и какова была его концентрация?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи обозначим неизвестные величины и составим уравнение на основе изменения концентрации соли.
1. Обозначения и исходные данные
- Масса соли в растворе постоянна: mсоли =50 г.
- Добавлено воды: 150 г.
- Пусть x — масса воды в исходном растворе (в граммах).
- Тогда общая масса исходного раствора равна 50+x г.
- Общая масса конечного раствора равна (50+x)+150=200+x г.
2. Выражение концентраций
Концентрация соли (C) вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора, умноженное на 100%:
C=mсоли/mраствора ·100%Исходная концентрация C1:
C1=50/50+x·100%Конечная концентрация C2 после добавления воды:
C2=50/200+x·100%3. Составление уравнения
По условию, концентрация уменьшилась на 7,5%. Это означает разницу между начальной и конечной концентрациями:
C1-C2=7,5%Подставим выражения для C1 и C2:
50/50+x·100-50/200+x·100=7,5Разделим обе части уравнения на 100, чтобы упростить запись (или сразу работаем с десятичными дробями):
50/50+x-50/200+x=0,0754. Решение уравнения
Приведем левую часть к общему знаменателю:
50(200+x)-50(50+x)/(50+x)(200+x)=0,075Раскроем скобки в числителе:
10000+50x-2500-50x/(50+x)(200+x)=0,075 7500/(50+x)(200+x)=0,075Умножим обе части на знаменатель и разделим на 0,075:
(50+x)(200+x)=7500/0,075 (50+x)(200+x)=100000Раскроем скобки в левой части:
10000+50x+200x+x2=100000 x2+250x+10000=100000 x2+250x-90000=0Решим квадратное уравнение через дискриминант:
D=b2-4ac=2502-4·1·(-90000) D=62500+360000=422500 D=422500=650Корни уравнения:
x1=-250+650/2=400/2=200 x2=-250-650/2=-900/2=-450Так как масса воды не может быть отрицательной, отбрасываем корень x2. Таким образом, изначально в растворе содержалось 200 г воды.
5. Нахождение исходной концентрации
Подставим найденное значение x=200 в формулу для C1:
C1=50/50+200·100%=50/250·100%=0,2·100%=20%6. Проверка
Найдем конечную концентрацию C2 при x=200:
C2=50/200+200·100%=50/400·100%=12,5%Разница концентраций:
C1-C2=20%-12,5%=7,5%Это совпадает с условием задачи.
а) Изначально раствор содержал 200 г воды.
б) Исходная концентрация раствора составляла 20%.
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 441 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 441?
Краткий ответ: а) Изначально раствор содержал 200 г воды. б) Исходная концентрация раствора составляла 20%.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.