ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 465: Неравенства с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Изобразить на координатной плоскости множество решений систем
а) y≥x2, y≤4
б) x2+y2≤4, x-y≥0
в) x2+y2≤9, (x-3)2+y2≤9
г) (x-2)2+(y+1)2≥1, (x-2)2+(y+1)2≤9.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на изображение множеств решений систем неравенств с двумя переменными необходимо проанализировать каждое неравенство отдельно, определить границы областей и найти их пересечение.
а) Система: y≥x2, y≤4
- Неравенство y≥x2 задает область, лежащую выше или на границе параболы y=x2. Ветви направлены вверх, вершина в точке (0;0).
- Неравенство y≤4 задает полуплоскость ниже или на прямой y=4.
- Множество решений системы — это часть плоскости, ограниченная сверху прямой y=4, а снизу параболой y=x2. Границы включены (сплошные линии).
б) Система: x2+y2≤4, x-y≥0
- Неравенство x2+y2≤4 описывает круг радиуса R=4=2 с центром в начале координат (0;0), включая границу.
- Неравенство x-y≥0 равносильно y≤x. Это полуплоскость, расположенная ниже или на прямой y=x.
- Решением является часть круга, лежащая ниже диагонали y=x. Так как прямая проходит через центр, она делит круг пополам. Искомая область — нижний правый сегмент круга (включая дугу от точки (2;0) до (0;-2) и хорду-диаметр).
в) Система: x2+y2≤9, (x-3)2+y2≤9
- Первое неравенство x2+y2≤9 задает круг радиуса R1=3 с центром O1(0;0).
- Второе неравенство (x-3)2+y2≤9 задает круг радиуса R2=3 с центром O2(3;0).
- Расстояние между центрами d=|3-0|=3. Поскольку сумма радиусов R1+R2=6>d, а разность |R1-R2|=0<d, окружности пересекаются в двух точках.
- Решение системы — это общая часть (пересечение) двух кругов. Геометрически это фигура, похожая на линзу, симметричная относительно оси OX.
г) Система: (x-2)2+(y+1)2≥1, (x-2)2+(y+1)2≤9
- Обозначим выражение D=(x-2)2+(y+1)2. Это квадрат расстояния от точки (x;y) до центра C(2;-1).
- Неравенство D≥1 означает, что точка находится вне круга радиуса r1=1 с центром C(2;-1) (или на его границе).
- Неравенство D≤9 означает, что точка находится внутри круга радиуса r2=3 с тем же центром C(2;-1) (или на его границе).
- Решением системы является кольцевая область (аннуляр), заключенная между двумя концентрическими окружностями с центром в точке (2;-1), радиусами 1 и 3. Границы включены.
а) Область между параболой y=x2 и прямой y=4.
б) Часть круга радиуса 2 с центром (0;0), лежащая ниже прямой y=x.
в) Пересечение двух кругов радиуса 3 с центрами (0;0) и (3;0).
г) Кольцо с центром (2;-1), внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 3.
Задачи требуют понимания геометрического смысла неравенств. Пункт а) — стандартное пересечение области над параболой и под прямой. Пункт б) — пересечение круга и полуплоскости. Пункт в) — пересечение двух кругов равного радиуса. Пункт г) — разность двух кругов (кольцо).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 465 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 465?
Краткий ответ: а) Область между параболой y=x^2 и прямой y=4. б) Часть круга радиуса 2 с центром (0;0), лежащая ниже прямой y=x. в) Пересечение двух кругов радиуса 3 с центрами (0;0) и (3;0). г) Кольцо с центром (2;-1), внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.