ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 466: Неравенства с двумя переменными и их системы

Рассмотрим систему неравенств, задающую множество точек на плоскости:

Геометрически каждое неравенство определяет полуплоскость. Границами этих полуплоскостей являются прямые y=3x-1 и y=kx+b. Вид множества решений зависит от взаимного расположения этих двух прямых.

Случай 1: Прямые параллельны (k=3).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны (или совпадают). Уравнение первой прямой: y=3x-1. Уравнение второй: y=3x+b.

• Если b<-1, то прямая y=3x+b лежит ниже прямой y=3x-1. Неравенства y≤3x-1 и y≥3x+b определяют область между двумя параллельными прямыми. Это полоса .
• Если b>-1, то прямая y=3x+b лежит выше прямой y=3x-1. Тогда условие y≥3x+b требует, чтобы точка лежала выше верхней прямой, а условие y≤3x-1 — ниже нижней. Таких точек не существует. Система не имеет решений .
• Если b=-1, то прямые совпадают. Условие принимает вид 3x-1≤y≤3x-1, что возможно только при y=3x-1. Множеством решений является сама прямая .

Случай 2: Прямые пересекаются (k≠3).

Если k≠3, прямые имеют различные угловые коэффициенты и обязательно пересекаются в одной точке. Две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре угла. Система неравенств выделяет один из этих углов (включая границы), так как она ограничивает y сверху одной прямой и снизу другой в некоторой области. Таким образом, множеством решений является угол .

Итоговый анализ по пунктам задания:

1. Полоса: получается при параллельных прямых с зазором. То есть k=3 и b<-1.
2. Угол: получается при пересекающихся прямых. То есть k≠3 (b может быть любым).
3. Прямая: получается при совпадении границ. То есть k=3 и b=-1.
4. Отсутствие решений: возможно, если нижняя граница системы (y≥kx+b) оказывается строго выше верхней границы (y≤3x-1). Это происходит при k=3 и b>-1.