ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 471: Неравенства с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что для любого значения x верно неравенство 6x(x + 8) - (5x - 27)(x+17)>0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать неравенство для любого значения x, необходимо упростить левую часть выражения. Для этого раскроем скобки в обоих произведениях, приведём подобные слагаемые и получим квадратный трёхчлен. Затем проанализируем знак полученного выражения, используя свойства дискриминанта или выделение полного квадрата.
Вычисление:
- Раскроем первую скобку: 6x(x+8)=6x2+48x.
- Раскроем вторую скобку (произведение двух двучленов): (5x-27)(x+17)=5x·x+5x·17-27·x-27·17=5x2+85x-27x-459=5x2+58x-459.
- Подставим полученные результаты в исходное выражение, не забывая про минус перед второй скобкой: 6x2+48x-(5x2+58x-459)>0
- Уберём скобки, изменив знаки на противоположные внутри них: 6x2+48x-5x2-58x+459>0
- Приведём подобные слагаемые:
- x2: 6x2-5x2=x2
- x: 48x-58x=-10x
- Свободный член: +459
Проверка и вывод:
Рассмотрим квадратный трёхчлен f(x)=x2-10x+459. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x2 равен 1 (a>0).
Найдём дискриминант уравнения x2-10x+459=0:
D=b2-4ac=(-10)2-4·1·459=100-1836=-1736Так как дискриминант отрицательный (D<0), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. При этом старший коэффициент положительный (a>0). Согласно свойствам квадратичной функции, если a>0 и D<0, то функция принимает только положительные значения для всех x∈R.
Альтернативный способ проверки — выделение полного квадрата:
x2-10x+459=(x2-10x+25)+434=(x-5)2+434Так как (x-5)2≥0 для любого x, а 434>0, то сумма (x-5)2+434 всегда строго больше нуля.
Следовательно, исходное неравенство верно для любого значения x.
Доказано: после упрощения левая часть равна (x-5)2+434, что всегда >0.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 471 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 471?
Краткий ответ: Доказано: после упрощения левая часть равна (x-5)^2 + 434, что всегда >0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.