ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 472: Неравенства с двумя переменными и их системы

Рассмотрим систему уравнений а): {(x-2y)(x+3y)=0x²-y²=12

Первое уравнение является произведением двух множителей. Чтобы оно равнялось нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Это даёт нам два случая.

Случай 1: x-2y=0, откуда x=2y. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

(2y)²-y²=12
4y²-y²=12
3y²=12
y²=4
Отсюда получаем два значения для y: y₁=2 и y₂=-2.

Найдём соответствующие значения x, используя формулу x=2y:
Если y₁=2, то x₁=2·2=4. Получаем пару (4;2).
Если y₂=-2, то x₂=2·(-2)=-4. Получаем пару (-4;-2).

Случай 2: x+3y=0, откуда x=-3y. Подставим это во второе уравнение:

(-3y)²-y²=12
9y²-y²=12
8y²=12
y²=12/8=3/2=1.5
Отсюда y=±1.5=±6/2.

Найдём x, используя x=-3y:
Если y₃=6/2, то x₃=-3·6/2=-36/2=-1.56. Пара: (-1.56;0.56).
Если y₄=-6/2, то x₄=-3·(-6/2)=36/2=1.56. Пара: (1.56;-0.56).

Таким образом, система а) имеет четыре решения.

Теперь решим систему б): {x²-4xy+3y²+2x-6y=0x²-xy+y²=7

Начнём с первого уравнения. Попробуем разложить его на множители методом группировки или выделения полного квадрата. Заметим, что квадратный трёхчлен относительно x можно представить как (x-y)(x-3y). Проверим раскрытие скобок: (x-y)(x-3y)=x²-3xy-xy+3y²=x²-4xy+3y². Это совпадает с первыми тремя членами уравнения.

Оставшиеся члены +2x-6y можно вынести за скобки как 2(x-3y). Тогда всё первое уравнение примет вид:

(x-y)(x-3y)+2(x-3y)=0

Вынесем общий множитель (x-3y) за скобки:

(x-3y)(x-y+2)=0

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая.

Случай 1: x-3y=0, то есть x=3y. Подставим во второе уравнение системы (x²-xy+y²=7):

(3y)²-(3y)y+y²=7
9y²-3y²+y²=7
7y²=7
y²=1
Отсюда y=1 или y=-1.

Найдём x:
Если y=1, то x=3·1=3. Пара: (3;1).
Если y=-1, то x=3·(-1)=-3. Пара: (-3;-1).

Случай 2: x-y+2=0, то есть x=y-2. Подставим во второе уравнение:

(y-2)²-(y-2)y+y²=7
Раскроем скобки:
(y²-4y+4)-(y²-2y)+y²=7
y²-4y+4-y²+2y+y²=7
Приведём подобные слагаемые:
y²-2y+4=7
y²-2y-3=0

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета корни равны y₁=3 и y₂=-1 (так как сумма корней 2, произведение -3).

Найдём соответствующие x по формуле x=y-2:
Если y=3, то x=3-2=1. Пара: (1;3).
Если y=-1, то x=-1-2=-3. Пара: (-3;-1).

Заметим, что пара (-3;-1) уже была найдена в первом случае. Таким образом, уникальные решения системы б): (3;1), (-3;-1), (1;3).