9 класс Неравенства с двумя переменными и их системы § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 473: Неравенства с двумя переменными и их системы

Q: Это точный номер 473 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 473?

Краткий ответ: а) (-2; -2), (2; 2), ( (1+2√39)5; (2-√39)5), ( (1-2√39)5; (2+√39)5) б) (-5; -1), (5; 1).

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 472 474 →

Условие

Решить систему уравнений

а) x²+xy-2y²-x+y=0 и x²+y²=8

б) x²-6xy+5y²-x+5y=0 и x²-20y²=5.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения систем уравнений с двумя переменными, где одно из уравнений является однородным или приводится к произведению линейных множителей, удобно использовать метод разложения на множители. Разберём каждый пункт отдельно.

а) Система:

{x²+xy-2y²-x+y=0x²+y²=8

Шаг 1: Разложение первого уравнения на множители.

Сгруппируем члены в первом уравнении так, чтобы выделить квадратный трёхчлен и линейную часть:

(x²+xy-2y²)-(x-y)=0

Разложим квадратный трёхчлен x²+xy-2y². Ищем корни относительно x: дискриминант D=y²-4(1)(-2y²)=9y², корни x_1,2=-y±3y/2, то есть x₁=y и x₂=-2y. Следовательно, x²+xy-2y²=(x-y)(x+2y).

Подставим это обратно:

(x-y)(x+2y)-(x-y)=0

Вынесем общий множитель (x-y) за скобки:

(x-y)(x+2y-1)=0

Это означает, что система распадается на две совокупности случаев:

x-y=0⇒x=y
x+2y-1=0⇒x=1-2y

Шаг 2: Решение случая 1 (x=y).

Подставим x=y во второе уравнение системы x²+y²=8:

y²+y²=8⇒2y²=8⇒y²=4⇒y=±2

Если y=2, то x=2. Если y=-2, то x=-2.

Получаем две пары решений: (2; 2) и (-2; -2) .

Шаг 3: Решение случая 2 (x=1-2y).

Подставим выражение для x во второе уравнение:

(1-2y)²+y²=8

Раскроем скобки:

1-4y+4y²+y²=8 5y²-4y+1-8=0 5y²-4y-7=0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

D=(-4)²-4·5·(-7)=16+140=156 D=156=4·39=239

Корни уравнения:

y_1,2=4±239/10=2±39/5

Найдём соответствующие значения x по формуле x=1-2y.

Для y₁=2+39/5:

x₁=1-2(2+39/5)=5-(4+239)/5=1-239/5

Для y₂=2-39/5:

x₂=1-2(2-39/5)=5-(4-239)/5=1+239/5

Получаем ещё две пары решений: (1-239/5;2+39/5) и (1+239/5;2-39/5) .

б) Система:

{x²-6xy+5y²-x+5y=0x²-20y²=5

Шаг 1: Разложение первого уравнения на множители.

Сгруппируем члены:

(x²-6xy+5y²)-(x-5y)=0

Разложим квадратный трёхчлен x²-6xy+5y². Корни относительно x: D=36y²-20y²=16y², x_1,2=6y±4y/2, то есть x₁=5y и x₂=y. Значит, x²-6xy+5y²=(x-5y)(x-y).

Уравнение принимает вид:

(x-5y)(x-y)-(x-5y)=0

Выносим общий множитель (x-5y):

(x-5y)(x-y-1)=0

Имеем два случая:

x-5y=0⇒x=5y
x-y-1=0⇒x=y+1

Шаг 2: Решение случая 1 (x=5y).

Подставим во второе уравнение x²-20y²=5:

(5y)²-20y²=5 25y²-20y²=5 5y²=5⇒y²=1⇒y=±1

Если y=1, то x=5(1)=5. Пара: (5; 1) .

Если y=-1, то x=5(-1)=-5. Пара: (-5; -1) .

Шаг 3: Решение случая 2 (x=y+1).

Подставим во второе уравнение:

(y+1)²-20y²=5 y²+2y+1-20y²=5 -19y²+2y-4=0 19y²-2y+4=0

Проверим дискриминант этого уравнения:

D=(-2)²-4·19·4=4-304=-300

Так как D<0, действительных корней нет. Этот случай не даёт решений.

Ответ:

а) (-2;-2),(2;2),(1+239/5;2-39/5),(1-239/5;2+39/5)

б) (-5;-1),(5;1)

Ответ

а) (-2; -2), (2; 2), ((1+239)/5; (2-39)/5), ((1-239)/5; (2+39)/5)

б) (-5; -1), (5; 1)

В пункте а) ключ содержит четыре решения, которые получаются при разложении первого уравнения на два линейных множителя. В пункте б) второе разложение приводит к уравнению с отрицательным дискриминантом, поэтому только первое разложение дает решения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 473 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 473?

Краткий ответ: а) (-2; -2), (2; 2), ( (1+2√39)5; (2-√39)5), ( (1-2√39)5; (2+√39)5) б) (-5; -1), (5; 1).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.