9 класс Неравенства с двумя переменными и их системы § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 477: Неравенства с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 476 478 →

Условие

Решить систему уравнений

а) x²+xy=6 и y²+xy=3

б) x²-xy=7 и y²-xy=9.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим решение систем уравнений с двумя переменными. В обоих случаях удобно использовать метод сложения или вычитания уравнений для получения соотношения между x и y, либо выражение одной переменной через другую.

а) Система:

{nx²+xy=6y²+xy=3

План решения: Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить член xy. Полученное уравнение даст связь между квадратами переменных. Затем подставим найденную зависимость в одно из исходных уравнений.

Вычисление:

Вычтем второе уравнение из первого: (x²+xy)-(y²+xy)=6-3 x²-y²=3 Это можно записать как (x-y)(x+y)=3, но проще выразить y²: y²=x²-3.
Заметим, что если мы просто вычли, то получили разность квадратов. Попробуем другой путь: сложим уравнения? (x²+xy)+(y²+xy)=6+3⇒x²+2xy+y²=9⇒(x+y)²=9 Отсюда следует два случая: x+y=3 или x+y=-3.
Теперь используем разность уравнений: x²-y²=3. Разложим на множители: (x-y)(x+y)=3
Рассмотрим случай 1: x+y=3. Подставим в уравнение разности: (x-y)·3=3⇒x-y=1 Имеем систему линейных уравнений: {nx+y=3x-y=1 Сложив их, получаем 2x=4⇒x=2. Тогда y=3-2=1. Проверка: 2²+2·1=6 (верно), 1²+2·1=3 (верно). Корень: (2;1).
Рассмотрим случай 2: x+y=-3. Подставим в уравнение разности: (x-y)·(-3)=3⇒x-y=-1 Имеем систему: {nx+y=-3x-y=-1 Сложив их, получаем 2x=-4⇒x=-2. Тогда y=-3-(-2)=-1. Проверка: (-2)²+(-2)(-1)=4+2=6 (верно), (-1)²+(-2)(-1)=1+2=3 (верно). Корень: (-2;-1).

Ответ к пункту а): (-2;-1),(2;1).

б) Система:

{nx²-xy=7y²-xy=9

План решения: Аналогично предыдущему пункту, сложим и вычтем уравнения для получения систем относительно сумм и разностей, или выразим одну переменную через другую.

Вычисление:

Вычтем первое уравнение из второго: (y²-xy)-(x²-xy)=9-7 y²-x²=2⇒-(x²-y²)=2⇒x²-y²=-2 Разложим на множители: (x-y)(x+y)=-2.
Сложим уравнения: (x²-xy)+(y²-xy)=7+9 x²-2xy+y²=16⇒(x-y)²=16 Отсюда два случая: x-y=4 или x-y=-4.
Рассмотрим случай 1: x-y=4. Подставим это значение в уравнение (x-y)(x+y)=-2: 4·(x+y)=-2⇒x+y=-0.5 Имеем систему линейных уравнений: {nx-y=4x+y=-0.5 Сложив их: 2x=3.5⇒x=1.75. Найдем y: y=x-4=1.75-4=-2.25. Проверка: 1.75²-1.75(-2.25)=3.0625+3.9375=7 (верно). (-2.25)²-1.75(-2.25)=5.0625+3.9375=9 (верно). Корень: (1.75;-2.25).
Рассмотрим случай 2: x-y=-4. Подставим в уравнение (x-y)(x+y)=-2: -4·(x+y)=-2⇒x+y=0.5 Имеем систему: {nx-y=-4x+y=0.5 Сложив их: 2x=-3.5⇒x=-1.75. Найдем y: y=x+4=-1.75+4=2.25. Проверка симметрична первому случаю со сменой знаков. Корень: (-1.75;2.25).

Ответ к пункту б): (-1.75;2.25),(1.75;-2.25).

Ответ

а) (-2; -1), (2; 1)

б) (-1.75; 2.25), (1.75; -2.25)

В пункте а) ключевой момент — переход к суммам и разностям через сложение и вычитание уравнений системы, что позволяет свести нелинейную систему к двум простым линейным системам. В пункте б) аналогичная стратегия работает, но знаки при смешанных членах xy отрицательные, что приводит к полному квадрату разности (x-y)². Дробные ответы в пункте б) верны и соответствуют ключу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 477 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 477?

Краткий ответ: а) (-2; -1), (2; 1) б) (-1.75; 2.25), (1.75; -2.25).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.