9 класс Неравенства с двумя переменными и их системы § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 480: Неравенства с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 479 481 →

Условие

Решить систему уравнений: а) 4x(x + y) + y²=49 и 4x(x - y) + y²=81; б) 3x(3x - 4y) + 4y²=64 и 3x(3x + 4y) + 4y²=16.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения данных систем уравнений с двумя переменными воспользуемся методом алгебраических преобразований: сначала упростим левые части уравнений, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, а затем решим полученную систему относительно x и y.

а) Решим систему:

{4x(x+y)+y²=494x(x-y)+y²=81

Раскроем скобки в обоих уравнениях:

{4x²+4xy+y²=494x²-4xy+y²=81

Заметим, что левые части являются полными квадратами:

{(2x+y)²=49(2x-y)²=81

Извлекаем квадратный корень из обеих частей каждого уравнения. Получаем четыре случая комбинаций знаков:

1) 2x+y=7 и 2x-y=9 2) 2x+y=7 и 2x-y=-9 3) 2x+y=-7 и 2x-y=9 4) 2x+y=-7 и 2x-y=-9

Решим каждую простую линейную систему методом сложения или вычитания.

Случай 1:

{2x+y=72x-y=9 Сложим уравнения: 4x=16⇒x=4. Подставим в первое: 2(4)+y=7⇒8+y=7⇒y=-1.
Ответ: (4;-1).

Случай 2:

{2x+y=72x-y=-9 Сложим уравнения: 4x=-2⇒x=-0,5. Подставим в первое: 2(-0,5)+y=7⇒-1+y=7⇒y=8.
Ответ: (-0,5;8).

Случай 3:

{2x+y=-72x-y=9 Сложим уравнения: 4x=2⇒x=0,5. Подставим в первое: 2(0,5)+y=-7⇒1+y=-7⇒y=-8.
Ответ: (0,5;-8).

Случай 4:

{2x+y=-72x-y=-9 Сложим уравнения: 4x=-16⇒x=-4. Подставим в первое: 2(-4)+y=-7⇒-8+y=-7⇒y=1.
Ответ: (-4;1).

Таким образом, для пункта а) получены четыре пары решений.

б) Решим систему:

{3x(3x-4y)+4y²=643x(3x+4y)+4y²=16

Раскроем скобки:

{9x²-12xy+4y²=649x²+12xy+4y²=16

Левые части также представляют собой полные квадраты:

{(3x-2y)²=64(3x+2y)²=16

Извлекаем корни, получая четыре случая:

1) 3x-2y=8 и 3x+2y=4 2) 3x-2y=8 и 3x+2y=-4 3) 3x-2y=-8 и 3x+2y=4 4) 3x-2y=-8 и 3x+2y=-4

Случай 1:

{3x-2y=83x+2y=4 Сложим уравнения: 6x=12⇒x=2. Вычтем второе из первого (или подставим): 3(2)+2y=4⇒6+2y=4⇒2y=-2⇒y=-1.
Ответ: (2;-1).

Случай 2:

{3x-2y=83x+2y=-4 Сложим уравнения: 6x=4⇒x=4/6=2/3. Подставим во второе: 3(2/3)+2y=-4⇒2+2y=-4⇒2y=-6⇒y=-3.
Ответ: (2/3;-3).

Случай 3:

{3x-2y=-83x+2y=4 Сложим уравнения: 6x=-4⇒x=-2/3. Подставим во второе: 3(-2/3)+2y=4⇒-2+2y=4⇒2y=6⇒y=3.
Ответ: (-2/3;3).

Случай 4:

{3x-2y=-83x+2y=-4 Сложим уравнения: 6x=-12⇒x=-2. Подставим во второе: 3(-2)+2y=-4⇒-6+2y=-4⇒2y=2⇒y=1.
Ответ: (-2;1).

Проверка показывает, что все найденные пары удовлетворяют исходным системам.

Ответ

а) (4; -1), (-4; 1), (0,5; -8), (-0,5; 8)

б) (2; -1), (-2; 1), (2/3; -3), (-2/3; 3)

В решении использован метод выделения полного квадрата после раскрытия скобок. Это позволяет свести нелинейную систему к совокупности четырех простых линейных систем. Все вычисления проверены на соответствие ключу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 480 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 480?

Краткий ответ: а) (4; -1), (-4; 1), (0,5; -8), (-0,5; 8) б) (2; -1), (-2; 1), ( 23; -3), ( -23; 3).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.