ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 479: Неравенства с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Ольга Кузнецова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти множество решений системы
а) x2+xy+y2=7 и x+xy+y=5
б) x2+xy+y2=19 и x+xy+y=1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения систем уравнений вида x2+xy+y2=A и x+xy+y=B удобно использовать замену переменных. Введём новые переменные: сумму S=x+y и произведение P=xy. Тогда второе уравнение системы можно переписать как S+P=B, откуда P=B-S. Первое уравнение также выразим через S и P: так как x2+y2=(x+y)2-2xy=S2-2P, то x2+xy+y2=S2-P. Подставим это в первое уравнение: S2-P=A.
а) Система: {x2+xy+y2=7x+xy+y=5
1. Запишем систему для S и P:
{S2-P=7S+P=5
2. Из второго уравнения выразим P=5-S и подставим в первое:
S2-(5-S)=7⇒S2+S-5=7⇒S2+S-12=0
3. Решим квадратное уравнение относительно S. По теореме Виета корни равны S1=3 и S2=-4.
4. Найдём соответствующие значения P:
- Если S1=3, то P1=5-3=2.
- Если S2=-4, то P2=5-(-4)=9.
5. Вернёмся к переменным x и y. Они являются корнями квадратного уравнения t2-St+P=0.
- Случай 1: S=3,P=2. Уравнение: t2-3t+2=0. Корни: t1=1,t2=2. Получаем пары (1;2) и (2;1).
- Случай 2: S=-4,P=9. Уравнение: t2+4t+9=0. Дискриминант D=16-36=-20<0. Действительных корней нет.
Ответ а): (1;2),(2;1).
б) Система: {x2+xy+y2=19x+xy+y=1
1. Запишем систему для S и P:
{S2-P=19S+P=1
2. Выразим P=1-S и подставим в первое уравнение:
S2-(1-S)=19⇒S2+S-1=19⇒S2+S-20=0
3. Решим квадратное уравнение относительно S. По теореме Виета или через дискриминант (D=1+80=81) находим корни:
S1=-1+9/2=4, S2=-1-9/2=-5
4. Найдём соответствующие значения P:
- Если S1=4, то P1=1-4=-3.
- Если S2=-5, то P2=1-(-5)=6.
5. Вернёмся к переменным x и y через уравнение t2-St+P=0.
- Случай 1: S=4,P=-3. Уравнение: t2-4t-3=0.
Дискриминант D=16-4(1)(-3)=16+12=28.
Корни: t1,2=4±28/2=4±27/2=2±7.
Получаем пары: (2+7;2-7) и (2-7;2+7). - Случай 2: S=-5,P=6. Уравнение: t2+5t+6=0.
По теореме Виета корни равны t1=-2,t2=-3.
Получаем пары: (-2;-3) и (-3;-2).
Ответ б): (-2;-3),(-3;-2),(2+7;2-7),(2-7;2+7).
а) (1; 2), (2; 1)
б) (-2; -3), (-3; -2), (2+\sqrt{7}; 2-7), (2-\sqrt{7}; 2+7)
Использован метод замены переменных на сумму и произведение. Для пункта а) один из случаев привел к отсутствию действительных решений. Для пункта б) оба случая дали действительные корни, во втором случае с иррациональными числами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 479 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 479?
Краткий ответ: а) (1; 2), (2; 1) б) (-2; -3), (-3; -2), (2+√7; 2-√7), (2-√7; 2+√7).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.