9 класс Неравенства с двумя переменными и их системы § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 478: Неравенства с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 477 479 →

Условие

Решить систему уравнений

а) x²+y²=25 и xy=12

б) x²+y²=26 и x+y=6.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим решение системы уравнений по пунктам. В обоих случаях мы будем использовать метод подстановки или замены переменных через симметричные многочлены, так как система содержит выражения x²+y² и либо произведение xy, либо сумму x+y.

а) Система: {x²+y²=25xy=12

Заметим, что (x+y)²=x²+2xy+y². Подставим известные значения:

(x+y)²=25+2·12=25+24=49

Отсюда следует, что x+y=7 или x+y=-7.

Теперь у нас есть две простые системы, где сумма и произведение корней известны. Числа x и y являются корнями квадратного уравнения t²-St+P=0, где S=x+y, P=xy.

Если x+y=7 и xy=12, то уравнение: t²-7t+12=0. По теореме Виета корни равны 3 и 4. Получаем пары (3;4) и (4;3).
Если x+y=-7 и xy=12, то уравнение: t²+7t+12=0. Корни равны -3 и -4. Получаем пары (-3;-4) и (-4;-3).

Проверка для пары (3;4): 3²+4²=9+16=25, 3·4=12. Верно.

б) Система: {x²+y²=26x+y=6

Выразим одну переменную через другую из второго уравнения: y=6-x.

Подставим это выражение в первое уравнение:

x²+(6-x)²=26

Раскроем скобки:

x²+36-12x+x²=26 2x²-12x+36-26=0 2x²-12x+10=0

Разделим всё уравнение на 2:

x²-6x+5=0

Найдём корни через дискриминант или теорему Виета. Сумма корней 6, произведение 5. Корни: x₁=1, x₂=5.

Найдём соответствующие значения y:

При x=1: y=6-1=5. Пара (1;5).
При x=5: y=6-5=1. Пара (5;1).

Проверка для пары (1;5): 1²+5²=1+25=26, 1+5=6. Верно.

Ответ

а) (-3; -4), (-4; -3), (3; 4), (4; 3)

б) (1; 5), (5; 1)

В пункте а) использована формула квадрата суммы для нахождения возможных значений x+y, затем сведение к квадратному уравнению относительно t. В пункте б) применён метод подстановки линейного уравнения в квадратное.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 478 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 478?

Краткий ответ: а) (-3; -4), (-4; -3), (3; 4), (4; 3) б) (1; 5), (5; 1).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.