ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 481: неравенства
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что уравнения не имеют решений
а) x2+4xy+4y2+5=0
б) x2-2xy+8+y2=0
в) x2-2x+y2-4y+6=0
г) x^2y^2 - 2xy+3=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства того, что уравнения не имеют решений, мы будем использовать метод выделения полного квадрата. Суть метода заключается в преобразовании левой части уравнения к виду суммы неотрицательных выражений (квадратов) и положительного числа. Поскольку квадрат любого действительного числа больше или равен нулю (a2≥0), а сумма неотрицательных чисел и строго положительного константы всегда больше нуля, левая часть никогда не сможет обратиться в ноль.
а) Рассмотрим уравнение x2+4xy+4y2+5=0.
Заметим, что первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы: (x+2y)2=x2+4xy+4y2.
Перепишем уравнение:
(x+2y)2+5=0
Так как (x+2y)2≥0 для любых x и y, то левая часть удовлетворяет неравенству (x+2y)2+5≥5>0.
Следовательно, равенство нулю невозможно. Уравнение не имеет решений.
б) Рассмотрим уравнение x2-2xy+8+y2=0.
Сгруппируем члены так, чтобы выделить полный квадрат: x2-2xy+y2. Это равно (x-y)2.
Оставшееся число 8 перенесем за скобки или оставим отдельно.
Перепишем уравнение:
(x-y)2+8=0
Аналогично предыдущему пункту: (x-y)2≥0, поэтому (x-y)2+8≥8>0.
Левая часть всегда положительна, значит, она не может быть равна нулю. Уравнение не имеет решений.
в) Рассмотрим уравнение x2-2x+y2-4y+6=0.
Здесь нужно выделить полные квадраты отдельно по переменным x и y.
Для x: x2-2x. Чтобы получить полный квадрат (x-1)2=x2-2x+1, нам нужно добавить 1.
Для y: y2-4y. Чтобы получить полный квадрат (y-2)2=y2-4y+4, нам нужно добавить 4.
Разложим свободный член 6 на 1+4+1:
(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+1=0
(x-1)2+(y-2)2+1=0
Сумма двух квадратов плюс единица: (x-1)2≥0, (y-2)2≥0, следовательно, вся левая часть ≥1>0.
Уравнение не имеет решений.
г) Рассмотрим уравнение x2y2-2xy+3=0.
Введем замену переменной t=xy. Тогда уравнение примет вид t2-2t+3=0.
Выделим полный квадрат относительно t:
t2-2t+1+2=0
(t-1)2+2=0
Вернемся к исходным переменным (t=xy):
(xy-1)2+2=0
Так как (xy-1)2≥0, то (xy-1)2+2≥2>0.
Левая часть строго положительна, поэтому она не может равняться нулю. Уравнение не имеет решений.
а) Доказано: (x+2y)2+5>0
б) Доказано: (x-y)2+8>0
в) Доказано: (x-1)2+(y-2)2+1>0
г) Доказано: $(xy-1)^2 + 2 > 0
Во всех случаях используется свойство неотрицательности квадрата действительного числа. Ключевым шагом является алгебраическое преобразование левой части уравнения в сумму квадратов и положительной константы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 481 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 481?
Краткий ответ: а) Доказано: (x+2y)^2 + 5 > 0 б) Доказано: (x-y)^2 + 8 > 0 в) Доказано: (x-1)^2 + (y-2)^2 + 1 > 0 г) Доказано: (xy-1)^2 + 2 > 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.