ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 483: система окружность и прямая

Для составления уравнения, графиком которого является объединение нескольких кривых, используется свойство произведения. Если точка (x;y) принадлежит хотя бы одной из заданных кривых, то произведение левых частей их уравнений (приведённых к виду F(x,y)=0) равно нулю.

а) Пара прямых y=x+5 и y=x-5

1. Приведём уравнения прямых к общему виду: y-x-5=0 y-x+5=0
2. Составим произведение этих выражений и приравняем его к нулю: (y-x-5)(y-x+5)=0
3. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов (a-b)(a+b)=a²-b², где a=y-x, а b=5: (y-x)²-5²=0 y²-2xy+x²-25=0 Перенесём свободный член в правую часть или перегруппируем слагаемые для получения стандартного вида. В ключевом ответе дано x²-y²=25. Проверим, верно ли это. Если мы возьмём уравнения x-y+5=0 и x-y-5=0, то произведение будет: (x-y+5)(x-y-5)=(x-y)²-25=x²-2xy+y²-25=0⇒x²-2xy+y²=25. Однако, давайте внимательно посмотрим на условие задачи и типичные ошибки в таких задачах. Часто под "парой прямых" подразумевается гипербола или вырожденная коника. Но здесь явно даны две параллельные прямые y=x+5 и y=x-5. Их объединение описывается уравнением (y-x-5)(y-x+5)=0, что даёт y²-2xy+x²-25=0. Посмотрим на ключ: x²-y²=25. Это уравнение гиперболы, асимптотами которой являются y=x и y=-x. Оно НЕ описывает пару параллельных прямых y=x±5. Возможно, в условии опечатка или я неверно интерпретирую "пара прямых"? Нет, y=x+5 и y=x-5 — это параллельные прямые. Давайте проверим другой вариант. Может быть, имелось в виду y=x+5 и y=-x+5? Тогда (y-x-5)(y+x-5)=(y-5)²-x²=0⇒x²-(y-5)²=0. Тоже не подходит. А если прямые y=x+5 и y=-x-5? Нет. Вернёмся к строгому математическому выводу. Уравнение объединения двух множеств точек есть произведение их определяющих функций. Уравнение 1: x-y+5=0. Уравнение 2: x-y-5=0. Произведение: (x-y+5)(x-y-5)=(x-y)²-25=x²-2xy+y²-25=0. Итак, правильное уравнение: x²-2xy+y²=25. Ключ x²-y²=25 соответствует прямым y=x и y=-x (сдвинутым?) Нет, x²-y²=25 — это гипербола. Единственный случай, когда получается x²-y²=C — это пересечение прямых y=x+k и y=-x+m. Например, если бы было y=x+5 и y=-x+5, то (y-x-5)(y+x-5)=(y-5)²-x²=0⇒x²-(y-5)²=0. Если бы было y=x+5 и y=-x-5, то (y-x-5)(y+x+5)=y²-(x+5)²=0⇒y²-x²-10x-25=0. Похоже, что в ключе или условии есть несоответствие. Однако, правило говорит: "ключ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Я напишу своё корректное решение для данных прямых. Решение пункта а): Даны прямые l₁:y=x+5iffx-y+5=0 и l₂:y=x-5iffx-y-5=0. Объединение этих прямых задаётся уравнением: (x-y+5)(x-y-5)=0 (x-y)²-25=0 x²-2xy+y²-25=0 Или x²-2xy+y²=25.

б) Окружность x²+y²=4 и пара прямых y=-3 и y=3

1. Запишем уравнения в виде F(x,y)=0: Окружность: x²+y²-4=0. Прямая 1: y+3=0. Прямая 2: y-3=0. Объединение двух прямых: (y+3)(y-3)=y²-9=0.
2. Составим произведение уравнения окружности и уравнения пары прямых: (x²+y²-4)(y²-9)=0
3. Раскроем скобки: x²(y²-9)+y²(y²-9)-4(y²-9)=0 x^2y2-9x²+y⁴-9y²-4y²+36=0 y⁴+x^2y2-9x²-13y²+36=0
4. Это совпадает с ключом.

в) Гипербола xy=6 и окружность x²+y²=1

1. Запишем уравнения в виде F(x,y)=0: Гипербола: xy-6=0. Окружность: x²+y²-1=0.
2. Составим произведение: (xy-6)(x²+y²-1)=0
3. Раскроем скобки: xy(x²+y²-1)-6(x²+y²-1)=0 x^3y+xy³-xy-6x²-6y²+6=0
4. Это совпадает с ключом.