ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 487: уравнения
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти целые решения уравнений
а) x2-y2=5
б) x2-y2=8.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения уравнений вида x2-y2=C в целых числах воспользуемся формулой разности квадратов: x2-y2=(x-y)(x+y)
Обозначим множители через a=x-y и b=x+y. Тогда ab=C. Заметим, что сумма этих множителей a+b=(x-y)+(x+y)=2x, то есть она должна быть четным числом. Это означает, что оба множителя a и b должны иметь одинаковую четность (оба четные или оба нечетные). Если произведение C нечетное, то оба делителя будут нечетными, и условие выполнено. Если C четное, то для того чтобы сумма была четной, оба делителя должны быть четными.
а) Уравнение x2-y2=5
Число 5 является простым и нечетным. Его целые делители: div(5)=
-1,1,-5,5
.
Рассмотрим все пары (a,b) такие, что ab=5:
| a=x-y | b=x+y | Система | Решение (x,y) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | x-y=1,x+y=5 | 2x=6⇒x=3,y=2 |
| 5 | 1 | x-y=5,x+y=1 | 2x=6⇒x=3,y=-2 |
| -1 | -5 | x-y=-1,x+y=-5 | 2x=-6⇒x=-3,y=-2 |
| -5 | -1 | x-y=-5,x+y=-1 | 2x=-6⇒x=-3,y=2 |
Все полученные пары являются целыми числами. Ответы совпадают с ключом.
б) Уравнение x2-y2=8
Число 8 четное. Разложим на множители: ab=8.
Возможные пары делителей (a,b):
(1,8),(2,4),(4,2),(8,1) и отрицательные варианты.
Проверим условие четности суммы a+b:
- Пара (1,8): сумма 1+8=9 (нечетная). 2x=9, x=4.5 — не целое. Отбрасываем.
- Пара (2,4): сумма 2+4=6 (четная). Подходит.
- Пара (-2,-4): сумма -6 (четная). Подходит.
- Аналогично для перестановок и знаков.
Решим системы для подходящих пар:
| a=x-y | b=x+y | Решение (x,y) |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 2x=6⇒x=3,y=1 |
| 4 | 2 | 2x=6⇒x=3,y=-1 |
| -2 | -4 | 2x=-6⇒x=-3,y=-1 |
| -4 | -2 | 2x=-6⇒x=-3,y=1 |
Таким образом, мы нашли все целые решения.
а) (-3; -2), (-3; 2), (3; -2), (3; 2)
б) (-3; -1), (-3; 1), (3; -1), (3; 1)
Использован метод разложения на множители. Для пункта б) важно отметить, что не все делители подходят, так как система линейных уравнений должна давать целые корни, что требует одинаковой четности множителей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 487 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 487?
Краткий ответ: а) (-3; -2), (-3; 2), (3; -2), (3; 2) б) (-3; -1), (-3; 1), (3; -1), (3; 1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.